Прогрессии.

Сумма первых трех членов возрастающей арифметической прогрессии равна 21. Если от первых двух членов этой прогрессии отнять по 1, а к третьему члену прибавить 2, то полученные три члена составят геометрическую прогрессию. Найти сумму восьми первых членов геометрической прогрессии. ____________________________________________________________________________

Решение «типичных» задач с параметрами

Пример 2. При каких значениях параметра  уравнение  имеет единственный корень? Решение. Используем следующую замену: . Тогда первоначальное уравнение принимает вид:  Исходное уравнение будет иметь единственный корень в том случае, если у данного уравнения будет один положительный корень либо два корня, один из которых положительный, другой

Задачи на понижение концентрации

 «В задачах, которые ставит перед нами жизнь, экзаменатором является сама природа». У. У. Сойер Часто понятие “раствор” мы связываем, прежде всего, с водой, с водными растворами. Есть и другие растворы: например, спиртовые раствор йода, одеколона, лекарственные настойки, хотя именно вода

С.А.Генкин, И.В.Итенберг, Д.В.Фомин. Математический кружок

Неравенства. Что больше? Задача 1: Какое число больше: 31¹¹ или 1714? Решение: 31¹¹ < 32¹¹ = (25)¹¹ = 255 < 256 = (24)14 = 1614 < 1714. Вот такая цепочка неравенств сразу дает нам результат: 31¹¹ меньше, чем 1714. Единственное, что нам было необходимо для решения – это подметить, что числа 31 и 17

Решение задач с параметрами повышенной сложности

Пример 4. При каких  уравнение  имеет ровно три корня? Решение. Используем графический метод решения. График функции  отличается от параболы  только тем, что отрицательная ее область зеркально отражается вверх относительно оси OX (ведь модуль не может принимать отрицательных значений). График функции  представляет собой всем известную «галочку», вершина которой смещена в

Решение «типичных» задач с параметрами

Пример 1. При каких значениях  корни уравнения  положительны? Решение. 1) Начнем с рассмотрения случая, когда . Тогда уравнение принимает вид , откуда получаем, что  — положительный корень. Значит данное значение  нам подходит. Запомнили. 2) Теперь рассматриваем случай, когда . Получается квадратное уравнение. Определим сначала при каких значениях  данное уравнение

Переливаем, смешиваем

«Незнающие пусть научатся,  знающие — вспомнят еще раз».  Античный афоризм. Задачи на смеси имеют практическую направленность. Человеку часто приходится смешивать различные вещества или разбавлять что-либо водой. В задачах употребляется термин «смесь» независимо от её вида: твёрдая, жидкая, газообразная, сыпучая. Текстовые

Размышления о взаимодействии лингвистики и математики

Проф. А. В. Гладкий Доклад на Второй международной конференции по модели«Смысл<=>Текст» Проникновение в лингвистику математических методов и «математического духа» способствовало развитию лингвистики в сторону точности и объективности. Однако на пути ее дальнейшего развития в этом направлении стоят серьезные препятствия. Автор размышляет о причинах

Теоремы софиста Горгия и современная математика

Дмитрий Германович Фон-Дер-Флаасс «Квант» №5, 2010 Дмитрий Германович Фон-Дер-Флаасс. Фото: «Квант»  Дмитрий Германович Фон-Дер-Флаасс (1962–2010), замечательный математик и педагог, светлый и обаятельный человек. Дмитрий Германович успешно работал в большой науке, но это была лишь часть его деятельности. Вторую составляли математические олимпиады

Тело Кеплера — Пуансо Материал из Википедии — свободной энциклопедии Тело Кеплера — Пуансо — тело, представляющее собой правильный звёздчатый многогранник, не являющийся соединением платоновых и звёздчатых тел. В 1811 году французский математик Огюстен Коши установил, что существуют всего 4 правильных звёздчатых тела, которые не являются соединениями платоновых и звёздчатых тел.