Сегодня будем решать возвратные уравнения. Возвратными называются такие уравнения, в которых коэффициенты, одинаково удаленные от начала и конца, равны между собой. Например:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Возвратные уравнения

Возвратные уравнения нечетных степеней всегда имеют один корень, равный Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ (в силу симметричности коэффициентов), и делением на Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ могут быть приведены к возвратному уравнению четной степени, которое мы уже будем решать специальными методами.

Попробуем решить приведенное выше уравнение. Разделим его на Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ любым способом: можно в столбик, а можно по схеме Горнера.

Выполним деление в столбик:

Возвратные уравнения

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Теперь приравняем к нулю второй множитель:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Получили возвратное уравнение четной степени. Убедимся в том, что Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ не является его корнем, подставив Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ вместо Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ в уравнение. Получим неверное равенство: Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, значит, ноль не является корнем. Тогда можно разделить уравнение на Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ. Почему делим на Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, а не на Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, например, или не на Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ? Это определяет степень старшего члена уравнения: если у старшего члена 4 степень, то, разделив ее пополам, понимаем, что делить будем на Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ. Если бы была 6 степень, делили бы на Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ – на Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ и т.д.

После деления всего уравнения на Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ получим:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Или, группируя члены уравнения с одинаковыми коэффициентами, получим:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Сделаем такую замену:  Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ

Но как выразить Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ? Да очень просто: раз видим, что Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ во второй степени, то и возведем Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ в квадрат. Получим:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

То есть Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, или Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ

Тогда уравнение будет выглядеть так:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Или Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭПодготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ

Сделаем теперь обратную замену:

Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ – это уравнение корней не имеет, так как при его преобразовании выходит, что квадрат числа равен отрицательному числу, чего быть не может.

Второе значение Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ дает уравнение:

Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, или Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ

Корнями этого уравнения являются: Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ и Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ – найдены с помощью теоремы Виета. Не забудем и про первый корень, который найден нами в самом начале: Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ.

Ответ: Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭПодготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭПодготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ.


 

 

 

Решим еще одно возвратное уравнение четной степени:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Здесь коэффициенты не равны, тем не менее, здесь может быть также применен уже знакомый нам прием решения.

Убедимся в том, что Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ не является корнем, после чего разделим уравнение на Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ.

Получим:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Или, группируя члены уравнения с одинаковыми коэффициентами, получим:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Сделаем такую замену:  Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, сразу же возведем это выражение в квадрат, получим:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

То есть Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, или Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ

Тогда уравнение будет выглядеть так:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Определим дискриминант и рассчитаем корни:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭПодготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ

Выполним обратную замену: Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, что даст нам уравнение  Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, корнями которого будут Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭПодготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ (найдены по сумме коэффициентов уравнения).

Либо: Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, что даст нам уравнение  Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, корнями которого будут Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭПодготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ (найдены по Виету).

Ответ: Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭПодготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭПодготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭПодготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ.


Теперь можем перейти и к более сложным уравнениям, например, решим такое:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Это типичное возвратное уравнение, нечетной степени, значит, один корень равен Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, то есть требуется деление уравнения на Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ. На этот раз поделим по схеме Горнера:

Возвратные уравнения

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

 

Приравняв второй множитель к нулю, имеем возвратное уравнение четной 6-ой степени, которое мы разделим на Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, предварительно убедившись, что Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ – не его корень.

Получим: Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Или

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Поступаем аналогично тому, как мы это уже делали выше: вводим замену Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, и возводим это выражение в квадрат, и в куб:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

То есть Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, или Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

То есть Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, откуда Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ.

Тогда наше уравнение со всеми заменами будет таким:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Запишем его так:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Откуда Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ или Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ

Проведем обратную замену: Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, или Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, или Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ

Имеем: Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ – решений нет;

Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ – корни Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ

Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ – корни Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ

Не забудем про первый корень, который получили еще в начале решения:

Ответ: Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭПодготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭПодготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ


 

 

Ну и последнее на сегодня уравнение, решение которого не приведет нас к возвратному, но, тем не менее, уравнение интересное:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Нам сразу становится ясно, что решать придется уравнение 4-ой степени. Приведем все к общему знаменателю:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Или:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, поэтому:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Преобразуем, возводя в квадрат скобку (я умножила друг на друга две такие скобки):

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Или

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Вспоминаем, что, если уравнение имеет целые корни, то по теореме Безу они находятся среди делителей свободного члена. Делителями Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ являются Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ. По схеме Горнера первая же подстановка  –  1 – дает нам корень. Имеем:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Для уравнения Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ те же делители свободного члена, подбором быстро определяем, что 3 – корень уравнения:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Последнее уравнение Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ даст нам два корня: Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ

Ответ: Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭПодготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭПодготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ

Возвратные уравнения