Задача на проценты. Пакеты акций. Задание 19

В этом году во второй части ЕГЭ по математике появилось новое задание: №19. Предлагаю вам познакомиться с решением довольно сложной задачи этого типа.

Имеется три пакета акций. Общее суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете. Первый пакет в 4 раза дешевле второго, а суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из из первого пакета на величину, заключенную в пределах от 16 тыс. р. до 20 тыс. р., а цена акции из третьего пакета не меньше 42 тыс. р. и не больше 60 тыс. р.  Определите, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций может содержаться в первом пакете.

Будем считать, что общая стоимость акций фиксирована.

Давайте для начала введем переменные:

Тогда стоимость первого пакета акций равна nx, второго my, третьего (n+m)z

Теперь внимательно читаем задачу:

1. Первый пакет в 4 раза дешевле второго, следовательно

4nx=my.

2. Суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета, следовательно,

4nx+my=z(n+m).

3. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из из первого пакета на величину, заключенную в пределах от 16 тыс. р. до 20 тыс. р., следовательно,

16<=y-x<=20.

4. Цена акции из третьего пакета не меньше 42 тыс. р. и не больше 60 тыс. р., следовательно,

42<=z<=60

Получили систему условий:

delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{4nx=my} {nx+my=z(n+m)} {16<=y-x<=20}{42<=z<=60}}}{ }

В первую очередь разберемся с неравенствами.

По условию задачи нам нужно найти, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций может содержаться в первом пакете.

Этот процент равен {n/{n+m+(n+m)}}*100%={n/{2(n+m)}}*100%

Сначала найдем при каких условиях этот процент будет наименьшимОбщее суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете. Поэтому чем меньше акций в третьем пакете, тем меньше суммарное количество акций в первых двух пакетах. Акций в третьем пакете тем меньше, чем больше их стоимость. Следовательно, чтобы получить наименьший процент акций из первого пакета, мы должны взять наибольшую стоимость акций из третьего, то есть берем

z=60.

Далее. Чем дешевле акции из второго пакета, тем их больше, и тем меньше остается акций в первом пакете (суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете). Следовательно, разность между стоимостью акции из первого пакета и акции из второго пакета должна быть наименьшей. Поэтому берем

y-x=16

Получили систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{4nx=my} {nx+my=z(n+m)} {y-x=16}{z=60}}}{ }

В этой систем 4 уравнения и 5 неизвестных, поэтому мы не можем найти значение каждой неизвестной величины. Но мы можем найти их соотношение. Для этого вернемся вернемся к вопросу задачи. Нам нужно найти значение выражения

{n/{2(n+m)}}*100% (1)

Рассмотрим дробь n/{2(n+m)}. Обратная ей дробь равна

{2(n+m)}/n=2+2m/n

То есть если мы найдем отношение m/n, то задача будет решена.

Из первого, второго и четвертого уравнений системы получим

5nx=60(n+m) (2)

Из третьего уравнения выразим y через x, получим y=x+16. Подставим это выражение для y в первое уравнение и выразим x через n и  m:

4nx=m(x+16)

4nx=mx+16m

4nx-mx=16m

x(4n-m)=16m

x={16m}/{4n-m}

Подставим это выражение для x в уравнение (2). Получим:

5n*{{16m}/{4n-m}}=60(n+m)

Разделим обе части равенства на 20 и умножим на {4n-m}. Получим:

4mn=3(n+m)(4n-m)

Раскроем скобки, приведем подобные члены и перенесем слагаемые в одну сторону, получим:

3m^2-5mn-12n^2=0

Разделим обе части равенства на n^2, и решим квадратное уравнение относительно m/n:

3(m/n)^2-5m/n-12=0

Получим 2 значения:

m/n=-4/3  и m/n=3.

Так как n и m — натуральные числа, нам подходит только m/n=3. То есть m=3n. Подставим это соотношение в выражение (1):

{n/{2(n+m)}}*100%={n/{8n}}*100%=12,5

Итак,  наименьший  процент от общего количества акций, который может содержаться в первом пакете равен 12,5%.

Аналогичным образом найдем наибольший процент от общего количества акций, который может содержаться в первом пакете.

Получим систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{4nx=my} {nx+my=z(n+m)} {y-x=20}{z=42}}}{ }

Из первого, второго и четвертого уравнений получим

5nx=42(n+m) (3)

Из третьего уравнения выразим y через x, получим y=x+20. Подставим это выражение для y в первое уравнение и выразим x через n и  m. Получим:

x={20m}/{4n-m}.

Подставим это выражение для x в уравнение (3). Получим:

5n*{{20m}/{4n-m}}=42(n+m)

Разделим обе части равенства на 2 и умножим на {4n-m}. Получим:

50mn=21(n+m)(4n-m)

Раскроем скобки, приведем подобные члены и перенесем слагаемые в одну сторону, получим:

84n^2+13mn-21m^2=0

Разделим обе части равенства на n^2,  умножим на -1 и решим квадратное уравнение относительно m/n:

21(m/n)^2-13m/n-84=0

Получим 2 значения:

m/n=-12/7  и m/n=7/3.

Так как n и m — натуральные числа, нам подходит только m/n=7/3. То есть m={7/3}n. Подставим это соотношение в выражение (1):

{n/{2(n+m)}}*100%={n/{2(n+{7/3}n)}}*100%={3/20}*100%=15%

Итак, наибольший процент от общего количества акций, который может содержаться в первом пакете равен 15%.

Ответ: 12,5% и 15%

Задача на проценты. Пакеты акций. Задание 19