1. В оранжерее были срезаны гвоздики: белых и розовых — 400 штук, розовых и красных — 300, белых и красных — 440. Сколько гвоздик каждого цвета было срезано в оранжерее? [Белых гвоздик — 270, розовых — 130, красных — 170.]

Указание. Сложить все данные числа и разделить резуль­тат на два; получим количество гвоздик всех трех цветов, срезанных в оранжерее.

17 . В шахматном турнире участвовали 7 человек. Каждый с каждым сыграл по одной партии. Сколько партий они сыграли? Решение: I способ. Каждый шахматист сыграл 6 пар­тий. Всего сыграна 21 партия (произведение 7 • 6 нужно разделить на два, в противном случае каждая партия будет сосчитана дважды). II способ (с помощью графов). Пусть каждый шахматист обозначен точкой (рис.), а каждая сыгранная партия стрелкой от одного шахматиста к другому. (На рисунке обозначены партии только для первых двух игроков.) Если каждую партию считать один раз, то будем иметь 21 партию (6 + 5 + 4 + 3 + 2+1 = 21).

 

  1. Семь человек обменялись фотографиями. Сколько при этом было роздано фотографий?

Решение. Так как каждый из семи человек дал 6 фотографий (всем, кроме себя), то всего было роздано 42 фотографии (6 • 7 = = 42).

  1. Каждые два из двадцати городов соединены линией воздушного беспереса­дочного сообщения. Сколько все­го линий воздушного сообще­ния? [190.]
  2. Из села А в город В можно проехать по четырем маршрутам, а из В в село D — по трем. Сколькими способами можно составить маршрут из А в D с обязательным заездом в В? [12.]
  3. Каких чисел больше: пятизначных, все цифры которых четные, или пятизначных, все цифры которых нечетные (цифры не повторяются)?

Решение. В десятичной системе счисления четных и нечет­ных цифр поровну (по пять).Но среди четных цифр есть цифра 0, ко­торая не может стоять на первом месте, поэтому пятизначных чисел, записанных только нечетными цифрами, больше, чем пятизначных чисел, записанных только четными цифрами.

  1. Сколько существует двузначных чисел, записанных только: а) нечетными цифрами; б) четными цифрами (цифры в записи числа не повторяются)?

Решение, а) В двузначном числе на первом месте может стоять любая из пяти нечетных цифр, на втором — любая из четы­рех оставшихся. Всего — 5 *4 = 20 чисел.

б) 4 • 4 = 16 чисел. (Так как число с нуля начинаться не может, то на первом месте слева может стоять любая из цифр 2, 4, 6, 8; на втором — любая из четырех оставшихся четных цифр).

  1. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 3, 4, 5, 6 (цифры в записи числа не повторяются)?

Решение. На первом месте может стоять любая из четырех данных цифр, на втором — любая из трех оставшихся, на третьем — любая из двух оставшихся, на четвертом — оставшаяся четвертая цифра.

Всего, таким образом, из данных цифр можно составить 24 че­тырехзначных числа (4 • 3 • 2 • 1 = 24).

  1. Сколькими способами собрание из 30 человек может выбрать председателя и его заместителя? [870.]

Решение. Так как председателем может быть любой из 30 человек, а заместителем — любой из 29 оставшихся, то существует 30 • 29 способов выбора председателя и его заместителя: каждому из 30 председателей заместителя можно выбрать 29 способами.

  1. В один сосуд входит 3 л, а в другой — 5 л. Как с помощью этих сосудов налить в кувшин 4 л воды из водопровод­ного крана?

Решение. Наполняем сосуд в 5 л и отливаем в трехлитровый сосуд. Оставшиеся 2 литра переливаем в кувшин. Повторяя эту операцию, нальем в кувшин 4 л воды.

  1. Есть пять обрывков цепи, в каждом из которых 3 кольца. Как соединить их в одну цепь, расклепав и заклепав лишь 3 кольца?

Решение. Расклепать все кольца одного обрывка и каждым из полученных 3-х колец соединить оставшиеся звенья одно за дру­гим.

  1. Имеется 9 пластинок и двухчашечные весы без гирь. По виду все пластинки одинаковы, но одна из них легче других. Как с помощью двух взвешиваний найти более легкую пластинку?

 

Решение. Распределим 9 пластинок на 3 группы по 3 пла­стинки. С помощью первого взвешивания определим, в какой из трех групп находится более лёгкая пластинка.

Положим по три пластинки на пустые чашки весов. Если весы уравновешены, значит в этих группах нет более легкой пластинки. В противном случае она находится в одной из них. Берем ту группу, где более легкая пластинка, и с помощью второго взвешивания, положив по одной пластинке на пустые чашки весов, определим более легкую: если весы в равновесии, то более легкая пластинка осталась в стороне; в противном случае она — на поднявшейся чашке весов.

28  . Как рассадить 45 кроликов в 9 клеток так, чтобы во всех клетках было разное количество кроликов?

Решение. Посадим в первую клетку одного кролика, во вторую — два, в третью — три и т. д. Имеем: 1+2+3+4+  5 +6 + 7 + 8 + 9 = 45 кроликов.

  1. Принесли 5 чемоданов и 5 ключей от этих чемоданов, но неизвестно, какой ключ от какого чемодана. Сколько проб при­дется сделать в самом худшем случае, чтобы подобрать к каждому

чемодану свой ключ?

Решение. Первым из ключей, которые мы будем подбирать к чемодану, в самом худшем случае придется сделать 4 пробы. (Если ключ не подошел к 4 чемоданам из 5, значит, он соответствует пя­тому). Вторым ключом в самом худшем случае сделаем 3 пробы и т. д. Всего потребуется 10 проб (4 + 3 + 2 + 1 = 10).

Задачи для 5 класса(продолжение)