Задача 1.

В сосуд, содержащий 7 литров 14-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

 

Вот так выглядит краткое условие в рисунке:

гло

Пусть в сосуде изначально было x л некоторого вещества.

Составляем пропорцию:

uh

Откуда x=\frac{7\cdot 14}{100}=0,98 л.

р

После того, как в сосуд долили 7 литров воды, воды стало 14 л, а некоторого вещества по-прежнему 0,98л.

Составим очередную пропорцию:

гн

Откуда  процент некоторого вещества в сосуде есть

\frac{0,98\cdot 100}{14}=7%.

Ответ: 7.

Задача 2.

Смешали некоторое количество 13-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 17-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

 

Пусть x – вес первого раствора.

потп

В нем 0,13x некоторого вещества:

с

Второго вещества по весу взяли столько же, – x. В нем 0,17x того же некоторого вещества, что и в первом:

а

Тогда в смешанном растворе будет 0,13x+0,17x=0,3x по весу некоторого вещества.

Наконец, составляя последнюю пропорцию, получаем:

нп

Концентрация раствора: \frac{0,3x\cdot 100}{2x}=15%.

Ответ: 15.

Задача 3.

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй  — 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Решение:

 

Пусть  x кг – масса первого сплава. Тогда согласно условию 225-x кг – масса второго сплава.

гр

В первом сплаве 0,1x кг никеля, во втором – \frac{35\cdot (225-x)}{100}=0,35(225-x)=78,75-0,35x кг никеля.

Тогда в новом сплаве 78,75-0,35x+0,1x=78,75-0,25x кг никеля.

tg

Стало быть,

78,75-0,25x=\frac{225\cdot 25}{100};

78,75-0,25x=56,25;

0,25x=22,5;

x=90;

Значит,  масса второго сплава –  225-90=135 кг, что на 45 кг больше массы первого сплава.

Ответ: 45.

Задача 4.

Смешав 54-процентный и 61-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 46-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 56-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 54-процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение:

 

Пусть вес первого расвора x литров. В нем согласно условию 0,54x л кислоты.

Пусть вес второго раствора y литров. В нем согласно условию  0,61y л кислоты.

При смешивании двух растворов и добавлении 10 л воды, мы получим раствор весом x+y+10 л и кислоты в нем будет 0,54x+0,61y.

hb

Составим пропорцию:

р

46(x+y+10)=100(0,54x+0,61y);

46x+46y+460=54x+61y;

8x+15y=460;

Рассмотрим второй случай.

При смешивании двух растворов и добавлении 10 л 50%-го раствора кислоты, мы получим раствор весом x+y+10 л и кислоты в нем будет 0,54x+0,61y+5.

g

Составим пропорцию:

Снимок экрана 2013-11-02 в 20.20.36

56(x+y+10)=100(0,54x+0,61y+5);

56x+56y+560=54x+61y+500;

2x-5y=-60;

Итак, нам предстоит решить систему уравнений:

\begin{cases} 8x+15y=460,& & -2x+5y=60; \end{cases}

или

\begin{cases} 8x+15y=460,& & -6x+15y=180; \end{cases}

Вычитая строки, получаем:

14x=280;

x=20.

Ответ: 20.

Задача 5.

Имеются два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второй — 60 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 19% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 22% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Решение:

 

Ситуация 1.

Пусть  x% – концентрация кислоты в первом растворе, y% – концентрация кислоты во втором растворе.

рпи

uh

 

 

160\cdot 19=100(x+0,6y);

152=5x+3y;

Ситуация 2.

Пусть вес каждого смешиваемого раствора – m кг.

j

gh

Тогда

2m\cdot 22=\frac{100m}{100}\cdot (x+y);

44=x+y;

Итак, нам предстоит работать с  системой уравнений:

\begin{cases} 152=5x+3y,& & 44=x+y; \end{cases}

\begin{cases} 152=5x+3y,& & -132=-3x-3y; \end{cases}

Складывая уравнения системы, получаем:

2x=20;

x=10.

Тогда в первом растворе содержится 10 кг кислоты.

Ответ: 10.

 Задача 6.

Виноград содержит 90% влаги, а изюм  — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 40 килограммов изюма?

Решение:

 

Рисунок наглядно иллюстрирует условие задачи:

ар

Обратите внимание! Что очень важно понимать для решения данной задачи?

«Твердая часть винограда» = «твердая часть изюма»!

Начнем с изюма.

Обозначим за x кг твердую часть винограда (изюма). Она составляет 95% веса изюма.

гнп

x=\frac{40\cdot 95}{100};

x=38.

Итак, в изюме массой 40 кг, также как и в винограде, из которого он получен, твердая часть – 38  кг.

Переходим к винограду.

Твердая часть в винограде занимает 10% веса. Обозначим за m кг массу винограда.

g

m=\frac{38\cdot 100}{10};

m=380.

Итак, необходимо взять 380 кг винограда (чтобы получить 40 кг изюма).

Ответ: 380.

Задачи к экзаменам.