В этой статье рассмотрим решение задач из Задания 17, в которых требуется оптимальным образом распределить производство продукции для получения максимальной прибыли.

Задача 1. Кон­серв­ный завод вы­пус­ка­ет фрук­то­вые ком­по­ты в двух видах тары — стек­лян­ной и же­стя­ной. Про­из­вод­ствен­ные мощ­но­сти за­во­да поз­во­ля­ют вы­пус­кать в день 90 цент­не­ров ком­по­тов в стек­лян­ной таре или 80 цент­не­ров в же­стя­ной таре. Для вы­пол­не­ния усло­вий ас­сор­ти­мент­но­сти, ко­то­рые предъ­яв­ля­ют­ся тор­го­вы­ми се­тя­ми, про­дук­ции в каж­дом из видов тары долж­но быть вы­пу­ще­но не менее 20 цент­не­ров. В таб­ли­це при­ве­де­ны се­бе­сто­и­мость и от­пуск­ная цена за­во­да за 1 цент­нер про­дук­ции для обоих видов тары.

17

Пред­по­ла­гая, что вся про­дук­ция за­во­да на­хо­дит спрос (ре­а­ли­зу­ет­ся без остат­ка), най­ди­те мак­си­маль­но воз­мож­ную при­быль за­во­да за один день (при­бы­лью на­зы­ва­ет­ся раз­ни­ца между от­пуск­ной сто­и­мо­стью всей про­дук­ции и её се­бе­сто­и­мо­стью).

Решение.

скрыть

Величина прибыли зависит от того, каким образом будут распределены производственные мощности на заводе, то есть какая часть мощностей будет направлена на выпуск компотов в стеклянной таре, а какая  — в жестяной. Ту величину, от которой зависит прибыль примем за неизвестное.

Пусть величина Подготовка к ГИА и ЕГЭ — это часть мощностей завода, направленных на выпуск компотов в стеклянной таре. Тогда оставшиеся мощности, то есть Подготовка к ГИА и ЕГЭ направлены на выпуск компотов в жестяной таре.

В этом случае завод выпустит Подготовка к ГИА и ЕГЭ центнеров компота в стеклянной таре, и Подготовка к ГИА и ЕГЭцентнеров в жестяной.

Прибыль с одного центнера продукции равна разности между отпускной ценой и себестоимостью. Таким образом

1 центнер компотов в стеклянной таре приносит прибыль Подготовка к ГИА и ЕГЭ руб

1 центнер компотов в жестяной таре приносит прибыль Подготовка к ГИА и ЕГЭ руб

В итоге полученная прибыль в зависимости от Подготовка к ГИА и ЕГЭ составит

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Упростим выражение для функции Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Коэффициент при Подготовка к ГИА и ЕГЭ больше нуля, следовательно, это функция возрастающая, и чем больше значение Подготовка к ГИА и ЕГЭ, тем больше прибыль. Но по условию задачи нельзя отдать все мощности на производство компотов в стеклянной таре: для вы­пол­не­ния усло­вий ас­сор­ти­мент­но­сти, ко­то­рые предъ­яв­ля­ют­ся тор­го­вы­ми се­тя­ми, про­дук­ции в каж­дом из видов тары долж­но быть вы­пу­ще­но не менее 20 цент­не­ров.

Найдем, какую часть мощностей нужно отдать под производство компотов в жестяной таре:

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Подготовка к ГИА и ЕГЭ — под производство компотов в жестяной таре необходимо отдать Подготовка к ГИА и ЕГЭ часть всех мощностей завода, следовательно, под производство компотов в стеклянной таре можно отдать максимум Подготовка к ГИА и ЕГЭ всех мощностей.

Тогда

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Ответ: Подготовка к ГИА и ЕГЭ.

Задача 2. У фер­ме­ра есть два поля, каж­дое пло­ща­дью 10 гек­та­ров. На каж­дом поле можно вы­ра­щи­вать кар­то­фель и свёклу, поля можно де­лить между этими куль­ту­ра­ми в любой про­пор­ции. Уро­жай­ность кар­то­фе­ля на пер­вом поле со­став­ля­ет 500 ц/га, а на вто­ром — 300 ц/га. Уро­жай­ность свёклы на пер­вом поле со­став­ля­ет 300 ц/га, а на вто­ром – 500 ц/га.

Фер­мер может про­дать кар­то­фель по цене 5000 руб. за цент­нер, а свёклу — по цене 8000 руб. за цент­нер. Какой наи­боль­ший доход может по­лу­чить фер­мер?

(из сборника Ти­по­вые тестовые за­да­ния по математике, под ре­дак­ци­ей И. В. Ященко. 2016 г.)

Решение.

скрыть

Величина дохода фермера зависит от того, каким образом будет распределена площадь каждого поля между посадками картофеля и свеклы.

Пусть на первом поле фермер отвел Подготовка к ГИА и ЕГЭ га под картофель. Тогда под свеклу остается Подготовка к ГИА и ЕГЭга.

Урожайность картофеля на первом поле 500 ц/га, а свеклы 300 ц/га.

В этом случае прибыль с первого поля составит Подготовка к ГИА и ЕГЭ — перед нами возрастающая функция, которая принимает наибольшее значение при максимально возможном Подготовка к ГИА и ЕГЭ. Так как никаких ограничений по распределению площадей посадки между картофелем и свеклой перед фермером не стоит, ему выгодно все первое поле отдать под картофель, тогда он получит прибыль:

Подготовка к ГИА и ЕГЭ руб.

Аналогично поступим со вторым полем.

Пусть на втором поле фермер отвел Подготовка к ГИА и ЕГЭ га под картофель. Тогда под свеклу остается Подготовка к ГИА и ЕГЭ га.

Урожайность картофеля на втором поле 300 ц/га, а свеклы 500 ц/га.

Если подумать, здесь даже не нужно составлять функцию, так как урожайность свеклы на втором поле выше, чем картофеля, и стоимость одного центнера свеклы также больше. Поэтому очевидно, что на втором поле фермеру выгоднее выращивать только свеклу. В этом случае прибыль со второго поля составит

Подготовка к ГИА и ЕГЭ руб.

Общая прибыль фермера равна Подготовка к ГИА и ЕГЭ руб.

Ответ: Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Задачи на оптимизацию. Задание 17