Матрицы: история, применение

Определение

Матрицей размера называется прямоугольная таблица специального вида, состоящая из строк и столбцов, заполненная некоторыми элементами.

Количество строк и столбцов матрицы задают ее размеры.

Обозначение:

Элементы матрицы обозначаются , где — номер строки, в которой находится элемент, а — номер столбца.

История развития

Впервые матрица под названием «волшебный квадрат» упоминается еще в Древнем Китае. Подобные квадраты чуть позже были известны и у арабских математиков. С развитием теории определителей в конце 17 века швейцарский математик Габриэль Крамер (1704 — 1752) начал разрабатывать свою теорию и в 1751 году, не задолго до своей смерти, опубликовал «правило Крамера» — метод решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с ненулевымопределителем матрицы системы. В этот же период появился и «метод Гаусса«, применяемый для решения СЛАУ и основанный на последовательном исключении неизвестных.

Как отдельная теория, теория матриц получила свое активное развитие в середине 19 века в работах ирландского математика и физика Уильяма Гамильтона (1805 — 1865) и английского математика Артура Кэли (1821 — 1895). Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат также немецким математикам Карлу Вейерштрассу (1815 — 1897), Фердинанду Георгу Фробениусу (1849 — 1917) и французскому математику Мари Энмону Камиль Жордану (1838 — 1922). Современное название «матрица» было введено английским математиком Джеймсом Сильвестром (1814 — 1897) в 1850 году.

Применение матриц

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи СЛАУ или систем дифференциальных уравнений. Тогда количество строк матрицы соответствует количеству уравнений системы, а количество столбцов равно количеству неизвестных. Матричный аппарат позволяет свести решение СЛАУ к операциям над матрицами.

Матрицы: основные определения и понятия

Определение

Матрицей размера называется прямоугольная таблица, содержащая чисел, состоящая из строк и столбцов.

Обозначение

Таблица берется либо в круглые скобки, либо окружается двумя параллельными вертикальными прямыми.

Пример

Если матрица содержит строк и столбцов, то матрица называется матрицей размера или -матрицей. Размер матрицы указывается справа внизу возле ее имени, либо таблицы с обозначением элементов.

Пример

Элементы матрицы

Элементы матрицы обозначаются , где — номер строки, в которой находится элемент, а — номер столбца.

Пример

Задание. Чему равен элемент матрицы ?

Решение. Находим элемент, который стоит на пересечении второй строки и третьего столбца:

Таким образом, .

Ответ.

Определение

Строка матрицы называется нулевой, если все ее элементы равны нулю. Если хотя бы один из элементов строки не равен нулю, то строка называется ненулевой.

Замечание. Аналогичное определение и для нулевого и ненулевого столбцов матрицы.

Пример

В матрице первая строка является нулевой (любой элемент этой строки равен нулю); вторая строка ненулевая, так как элемент .

Диагонали

Определение

Главной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний.

Побочной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого нижнего угла матрицы в правый верхний.

Пример

Главная диагональ матрицы : 1 и 6 — элементы главной диагонали.

Побочная диагональ матрицы : 3 и 4 — элементы побочной диагонали.

Для матрицы элементы 1, 2, -1 образуют главную диагональ; а элементы 3, 2, 2 — побочную.

Виды матриц

Определение

Матрица размера называется квадратной, число называется порядком матрицы.

Пример

— квадратная матрица порядка 2 или матрица второго порядка.

Определение

Матрица называется нулевой, если все её элементы равны нулю, т.е. .

Пример

Нулевая матрица

Определение

Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца, — вектор-столбцом.

Пример

— вектор-строка; — вектор-столбец.

Диагональные матрицы

Определение

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Замечание. Диагональные элементы матрицы (т.е. элементы, стоящие на главной диагонали) могут также равняться нулю.

Пример

Диагональная матрица

Определение

Скалярной называется диагональная матрица , у которой все диагональные элементы равны между собой.

Замечание. Если нулевая матрица является квадратной, то она также является и скалярной.

Пример

Скалярная матрица

Определение

Единичной матрицей называется скалярная матрица порядка , диагональные элементы которой равны 1.

Замечание. Для сокращения записи порядок единичной матрицы можно не писать, тогда единичная матрица обозначается просто .

Пример

Единичная матрица — единичная матрица второго порядка.

Треугольные матрицы

Определение

Матрица называется верхней треугольной матрицей, если все элементы ниже главной диагонали равны нулю.

Матрица называется нижней треугольной матрицей, если все элементы выше главной диагонали равны нулю.

Замечание. Диагональная матрица — это пример матрицы, которая является одновременно верхне- и нижнетреугольной.

Пример

Треугольная матрица — верхнетреугольная матрица.

Ступенчатая матрица

Определение

Ступенчатой называется матрица, удовлетворяющая следующим условиям:

  1. если эта матрица содержит нулевую строку (т.е. строку, все элементы которой равны нулю), то все строки, расположенные под нею, также нулевые;
  2. если первый ненулевой элемент некоторой строки расположен в столбце с номером , то первый ненулевой элемент следующей строки должен находиться в столбце с номером большим, чем .

Другое определение ступенчатой матрицы.

Определение

Ступенчатой называется матрица, которая содержит строк и у которой первые диагональных элементов ненулевые, а элементы, лежащие ниже главной диагонали и элементы последних строк равны нулю, то есть это матрица вида:

Ступенчатая матрица
Определение

Главным элементом некоторой строки матрицы называется ее первый ненулевой элемент.

Пример

Задание. Найти главные элементы каждой строки матрицы

Решение. Главный элемент первой строки — это первый ненулевой элемент этой строки, а поэтому — главный элемент строки под номером 1; аналогично — главный элемент второй строки.

Другое определение ступенчатой матрицы.

Определение

Матрица называется ступенчатой, если:

  1. все ее нулевые строки стоят после ненулевых;
  2. в каждой ненулевой строке, начиная со второго, ее главный элемент стоит правее (в столбце с большим номером) главного элемента предыдущей строки.

По определению к ступенчатым матрицам будем относить нулевую матрицу , а также матрицу, которая содержит одну строку.

Пример

Примеры ступенчатых матриц:

, , , ,
Примеры матриц, которые не являются ступенчатыми:

, ,

Пример

Задание. Выяснить, является ли матрица ступенчатой.

Решение. Проверяем выполнение условий из определения:

  1. все строки под первой нулевой строкой матрицы (четвертая строка) являются нулевыми;
  2. первый ненулевой элемент строки № 1 находится во втором столбце, значит, первый ненулевой элемент второй строки должен находиться, по крайней мере, в третьем столбце — выполняется, т.к. первый ненулевой элемент второй строки находится в третьем столбце; аналогично, первый ненулевой элемент третьей строки находится в шестом столбце, а первый ненулевой элемент предыдущей, второй, строки, находится в столбце с номером 3 и 3 < 6.

Итак, заданная матрица является ступенчатой.

 

Матрицы