Схема решения простейших неравенств:

1) неравенство вида |x|<a при a>0 равносильно системе \begin{cases} x<a \\ x>-a \end{cases} ; при a \leq 0 неравенство решений не имеет.

2) неравенство |x|>a , при a>0 равносильно совокупности неравенств

  \[ \left[  \begin{gathered} x > a \hfill \\ x < -a \end{gathered} \right  \]

при a=0 решением неравенства является множество x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) ; a<0 – вся числовая ось, то есть x \in (-\infty; + \infty) .

При решении неравенства вида |f(x)| > |g(x)| или |f(x)| < |g(x)| , обе части неравенства возводят в квадрат. Если неравенство содержит несколько выражений под знаком модуля, то применяется метод интервалов.

Примеры

ПРИМЕР 1

Задание Решить неравенство |x+1|>1
Решение Данное неравенство равносильно совокупности неравенств

  \[ \left[  \begin{gathered} x+1>1 \hfill \\  x+1<-1 \end{gathered} \right  \Rightarrow \left[  \begin{gathered} x>0 \hfill \\  x<-2 \end{gathered} \right  \Rightarrow \left[  \begin{gathered} x \in (0; + \infty) \hfill \\  x \in (-\infty; -2) \end{gathered} \right  \]

Объединяя эти интервалы, получим x \in (-\infty; -2) \cup (0; + \infty)

Ответ x \in (-\infty; -2) \cup (0; + \infty)
ПРИМЕР 2

Задание Решить неравенство |2x-1|<9
Решение Исходное неравенство равносильно системе неравенств

  \[ \begin{cases} 2x-1<9 \hfill \\  2x-1>-9 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x<10 \hfill \\  2x>-8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<5 \hfill \\  x>-4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; 5)  \hfill \\  x \in (-4; + \infty) \end{cases} \]

Пересекая эти два интервала, получим решение x \in (-4; 5)

Ответ x \in (-4; 5)
ПРИМЕР 3

Задание Решить неравенство 1 \leq |x-2| \leq 5
Решение Заданное двойное неравенство можно записать в виде системы неравенств:

  \[ \begin{cases} |x-2| \geq 1 \\ |x-2| \leq 5 \end{cases} \]

Первое неравенство равносильно совокупности неравенств

  \[ \left[  \begin{gathered} x-2 \geq 1 \hfill \\  x-2 \leq -1 \end{gathered} \right  \Rightarrow \left[  \begin{gathered} x \geq 3 \hfill \\  x \leq 1 \end{gathered} \right  \Rightarrow \left[  \begin{gathered} x \in [3; +\infty) \hfill \\  x \in (-\infty; 1] \end{gathered} \right  \Rightarrow x \in (-\infty; 1] \cup [3; +\infty) \]

Второе неравенство равносильно системе неравенств:

  \[ \begin{cases} x-2 \leq 5 \hfill \\  x-2 \geq -5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \leq 7 \hfill \\  x \geq -3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; 7] \hfill \\  x \in [-3; +\infty) \end{cases} \Rightarrow x \in [-3; 7] \]

Тогда получим,

  \[ \begin{cases} |x-2| \geq 1 \\ |x-2| \leq 5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; 1] \cup [3; +\infty) \\ x \in [-3; 7] \end{cases} \Rightarrow x \in [-3; 1] \cup [3; 7] \]

Ответ x \in [-3; 1] \cup [3; 7]
ПРИМЕР 4

Задание Решить неравенство |x+1| \leq |x-2|
Решение Возведем обе части этого неравенства в квадрат

  \[    (x+1)^{2} \leq (x-2)^{2} \]

Распишем полученные квадрат суммы и квадрат разности по формулам сокращенного умножения:

  \[    x^{2}+2x+1 \leq x^{2}-4x+4 \]

Приводя подобные, получим:

  \[    6x \leq 3 \text{ } \Rightarrow \text{ } 2x \leq 1 \text{ } \Rightarrow \text{ } x \leq \frac{1}{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } x \in (-\infty ; 0,5] \]

Ответ x \in (-\infty ; 0,5]
ПРИМЕР 5

Задание Решить неравенство |x-1|+|x-2| \leq 3
Решение Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули подмодульных выражений:

  \[    x-1=0 \text{ } \Rightarrow \text{ } x=1 \]

  \[    x-2=0 \text{ } \Rightarrow \text{ } x=2 \]

Эти значения разбивают числовую ось на три интервала: x \in (-\infty; 1] \text{ };\text{ } (1; 2] \text{ };\text{ } (2; +\infty] . Решим заданное неравенство на каждом из этих промежутков.

1) x \in (-\infty; 1] , при этом неравенство примет вид

  \[    -(x-1)-(x-2) \leq 3 \]

  \[    -x+1-x+2 \leq 3 \]

  \[    -2x \leq 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } x \geq 0 \]

Пересекая найденное решение x \in [0; + \infty) с рассматриваемым интервалом x \in (-\infty; 1] , получаем решение x \in [0; 1] .

2) x \in (1; 2] , на этом интервале неравенство имеет вид:

  \[    x-1-(x-2) \leq 3 \]

  \[    x-1-x+2 \leq 3 \]

  \[    0 \cdot x \leq 2 \]

Таким образом, x может принимать любые значения на этом интервале то есть решением и будет сам интервал x \in (1; 2] .

3) x \in (2; +\infty] , тогда модули раскроются следующим образом:

  \[    x-1+x-2 \leq 3 \]

  \[    2x \leq 6 \text{ } \Rightarrow \text{ } x \leq 3 \]

Пересекая это решение с рассматриваемым промежутком, получим, что x \in (2; 3] .

Для получения окончательного ответа объединим полученные решения:

  \[    x \in [0; 1] \cup (1; 2] \cup (2; 3] \text{ } \Rightarrow \text{ }  x \in [0; 3] \]

Ответ x \in [0; 3]
Примеры решения неравенств с модулем