ОГЭ №23 — Конфетти-математика

Пример 1. Постройте график функции

Определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

Построение графика функции всегда нужно начинать с указания области определения этой функции. В данном случае ограничения на эту область задаются тем, что в знаменателе не должно быть нуля, потому что деление на нуль не имеет математического смысла. То есть областью определения данной функции являются все числа, за исключением 1. Записать это можно следующим образом:

\[ D(y)=\left(-\mathcal{1};1\right)\cup\left(1;+\mathcal{1}\right). \]

После того, как мы указали область определения исходной функции, можно попробовать её упростить. Для этого вынесем минус в знаменателе за скобку и сократим. В результате получим следующее выражение:

\[ y=\frac{(x^2+0,25)(x-1)}{-(x-1)}=-x^2-0,25. \]

График данной функции получается из графика функции путём её отражения относительно оси OX и параллельного переноса всех точек на 0,25 единичного отрезка вниз. При этом мы должны удалить из этого графика точку , потому что она не входит в область определения исходной функции. То есть искомый график выглядит следующим образом:

График функции y=(x^2+0,25)(x-1)/(1-x) из 23 задания ОГЭ по математике

Теперь отвечаем на главный вопрос задачи. Графиком функции является прямая, проходящая через начало координат. При этом в зависимости от коэффициента эта прямая имеет разный наклон относительно оси OX. Когда это прямая имеет ровно одну общую точку с изображённым графиком? Только в двух случаях. Рассмотрим их по отдельности.

Первый случай. Когда данная прямая касается изображённого графика. Это ситуация изображена на рисунке:

Касательные к графику функции y=(x^2+0,25)(x-1)/(1-x) из точки 0

Сложность состоит в том, чтобы определить значения , при которых эта ситуация реализуется. Для решения этой задачи можно использовать несколько различных подходов. Используем наиболее типичный.

Суть в том, что в точке касания графики проходят через одну и ту же точку на координатной плоскости. Значит, в этой точке имеет место равенство:

\[ -x^2-0,25=kx\Leftrightarrow x^2+kx+0,25=0. \]

Дискриминант последнего квадратного уравнения равен , и в зависимости от коэффициента он может быть:

отрицательным, тогда корней у этого уравнения не будет, как не будет и точек пересечения соответствующей прямой с изображённым графиком;
положительным, тогда корней будет два, а значит и точек пересечения будет две (этот случай нам также не подходит);
равен нулю, именно этот случай соответствует касанию прямой с графиком, поскольку записанное уравнение в этом случае будет иметь только одно решение.

То есть , то есть $k\pm 1$ . Соответствующие прямые как раз и изображены на рисунке выше.

Второй случай. Не забываем, что точка с абсциссой не принадлежит нашему графику. Значит, открывается ещё одна возможность, когда прямая будет иметь с графиком ровно одну общую точку. Вот этот случай:

Второй случай пересечения параболы прямой из задания 23 ОГЭ по математике

Для нахождения в этом случае подставляем координаты точки в уравнение прямой . В результате получаем .

Ответ: $k=-1;\; 1;\; -1,25$ .

\[ y=|x^2-x-2|. \] — Сразу отметим, что в область определения данной функции входят все числа: . Наша задача теперь, как это часто бывает при решении заданий 23 из ОГЭ по математике, состоит в том, чтобы построить график этой функции. Для тех кто не сталкивался ранее с подобными заданиями, это может показаться странным, но график данной функции можно построить из графика функции . Нужно только выделить в подмодульном выражении полный квадрат. Для этого проведём следующие преобразования:
   $y=\left|x^2-x-2\right| = \left|x^2-2\cdot\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}-2\frac{1}{4}\right|.$
Из последнего с помощью формулы «квадрат разности» получаем:
   $y=\left|\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-2\frac{1}{4}\right|.$
Построим сначала график функции $y=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-2\frac{1}{4}$ . Этот график получается из графика функции  путём его переноса на $\frac{1}{2}$ единичного отрезка вправо и на $2\frac{1}{4}$ единичного отрезка вниз:

При этом нули функции равны 2 и -1. Что произойдёт с этой параболой, если взять модуль от всего выражения, стоящего справа? Все точки, лежащие ниже оси OX (с отрицательными ординатами), отразятся вверх относительно оси OX. В результате получится вот такой график:

Теперь, глядя на этот график, уже понятно, что максимальное число точек пересечения данного графика с линией, параллельной оси абсцисс, будет равно 4. В качестве примера можно взять прямую :

Ответ: 4.

D(y)=R — Сразу отметим, что в область определения данной функции входят все числа: . Наша задача теперь, как это часто бывает при решении заданий 23 из ОГЭ по математике, состоит в том, чтобы построить график этой функции. Для тех кто не сталкивался ранее с подобными заданиями, это может показаться странным, но график данной функции можно построить из графика функции . Нужно только выделить в подмодульном выражении полный квадрат. Для этого проведём следующие преобразования:
   $y=\left|x^2-x-2\right| = \left|x^2-2\cdot\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}-2\frac{1}{4}\right|.$
Из последнего с помощью формулы «квадрат разности» получаем:
   $y=\left|\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-2\frac{1}{4}\right|.$
Построим сначала график функции $y=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-2\frac{1}{4}$ . Этот график получается из графика функции  путём его переноса на $\frac{1}{2}$ единичного отрезка вправо и на $2\frac{1}{4}$ единичного отрезка вниз:

При этом нули функции равны 2 и -1. Что произойдёт с этой параболой, если взять модуль от всего выражения, стоящего справа? Все точки, лежащие ниже оси OX (с отрицательными ординатами), отразятся вверх относительно оси OX. В результате получится вот такой график:

Теперь, глядя на этот график, уже понятно, что максимальное число точек пересечения данного графика с линией, параллельной оси абсцисс, будет равно 4. В качестве примера можно взять прямую :

Ответ: 4.