Окружность. Касательная. Вписанные углы. ОГЭ (ГИА) задание 10, ЕГЭ Задание 6 (Использован сайт Инны Фельдман

Вспомним свойства вписанного угла.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны содержат хорды, называется вписанным углом. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Угловая величина дуги измеряется величиной центрального угла, который опирается на эту дугу:

∠ AOB=2 ∠ ADB

Важно: вписанные углы, опирающиеся на равные дуги равны между собой. В частности, вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой.

Рассмотрим решение задач.

Решение.

Рассмотрим треугольник BOC :

OB=OC=R , следовательно, треугольник BOC — равнобедренный.

∠ OCB= ∠ $OBC=38^{circ}$

Угол AOD и угол BOC — вертикальные. Вертикальные углы равны.

∠ AOD= ∠ $BOC=180^{circ}-2*38^{circ}=104^{circ}$

Ответ: 104

Решение.

∠ ABC= ∠ ABD+ ∠ DBC :

∠ DAC и ∠ DBC опираются на дугу , поэтому ∠ DBC= ∠ $DAC=35^{circ}$ :

отсюда ∠ ABD= ∠ ABC- ∠ $DAC=105^{circ}-35^{circ}=70^{circ}$

Ответ: 70

Решение.

Чтобы решить эту задачу нам нужно вспомнить два факта:

1. Вписанный угол, который опирается на диаметр равен $90^{circ}$ . И наоборот, если вписанный угол равен $90^{circ}$ , то он опирается на диаметр. Следовательно, гипотенуза прямоугольного треугольника ABC является диаметром описанной около треугольника окружности, то есть

2. центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит в середине гипотенузы.

Найдем по теореме Пифагора гипотенузу :

Отсюда AB=5 и R=5/2=2,5

Ответ: 2,5

Решение.

∠ NMB опирается на дугу . Найдем величину этой дуги.

∠ NBA опирается на дугу . Вписанный угол равен половине величины дуги, на которую он опирается, следовательно, $AN=2*36^{circ}=72^{circ}$ .

AB - диаметр окружности, следовательно, угловая величина дуги $ANB=180^{circ}$

Отсюда $NB=180^{circ}-72^{circ}=108^{circ}$

Тогда ∠ $NBA={108^{circ}}/2=54^{circ}$

Ответ: 54

Решение.

Центральный угол AOC опирается на ту же дугу, что и вписанный угол ABC , следовательно, ∠ AOC=2 ∠ $ABC=2*75^{circ}=150^{circ}$

Проведем прямую и рассмотрим треугольник OKC

Угол KOC в сумме с углом AOC дает $180^{circ}$ ( так как они смежные), следовательно, ∠ $KOC=180^{circ}-150^{circ}=30^{circ}$

Угол OKC — внешний угол треугольника ABK и равен сумме двух углов, не смежных с ним.
∠ $OKC=75^{circ}+43^{circ}=118^{circ}$

тогда по теореме о сумме углов треугольника ∠ BCO= ∠ $KCO=180^{circ}-118^{circ}-30^{circ}=32^{circ}$

Ответ: 32

Решение.

Проведем диагональ ромба . Отрезки OA,~~OB,~~OC являются радиусами окружности, поэтому OA=OB=OC .

Стороны ромба равны между собой, поэтому треугольники AOB и BOC — равносторонние, и все углы этих треугольников равны $60^{circ}$ :

Следовательно, ∠ $ABC=60^{circ}+60^{circ}=120^{circ}$

Ответ: 120

Решение.

Вспомним свойства касательных.

1. Отрезки касательных, проведенные к окружности из одной точки равны между собой. То есть AK=BK

2. Радиус окружности, проведенный к точке касания перпендикулярен касательной.

То есть ∠ OAK= ∠ $OBK=90^{circ}$ :

Получаем, что∠ $ABO=90^{circ}-$ ∠ ABK

Найдем ∠ ABK . Для этого рассмотрим равнобедренный треугольник AKB .

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны и сумма углов треугольника равна 180 градусов:

Отсюда ∠ $ABK={(180^{circ}-72^{circ})}/2=54^{circ}$

Следовательно, ∠ $ABO=90^{circ}-54^{circ}=36^{circ}$

Ответ: 36

Решение.

Длина дуги пропорциональна величине центрального угла, который на нее опирается.

Центральный угол, который опирается на большую дугу равен $360^{circ}-66^{circ}=294^{circ}$

Пусть длина большей дуги равна .

Составим пропорцию:

отсюда

Ответ: 441

Решение.

Для решения это задачи нам понадобится еще одна теорема:

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть. То есть

Найдем .

Следовательно,

Отсюда BL=40

Ответ: 40

Решение.

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть. То есть

Пусть радиус окружности равен . Тогда KA=85-x,~~ CA=85+x

Получаем уравнение:

Ответ: 75

Решение.

Радиус окружности, проведенный к точке касания перпендикулярен касательной. Хорда параллельна касательной, следовательно, перпендикулярна .

Нам нужно найти длину .

Найдем . Для этого рассмотрим треугольник AOB . AO=OB=R , то есть этот треугольник равнобедренный. В равнобедренном треугольнике высота является медианой, то есть AM=MB=40

найдем по теореме теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AOM :

OM^2=AO^2-AM^2=85^2-40^2=7225-1600=5625=75^2

Ответ: 160