Задача 1. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100000 рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на а% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
Найдите число а, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причем в первый год было переведено 55000 руб., а во второй 69000 рублей.


 

Запишем, что происходило с кредитом, поэтапно:

В июле взяли в кредит 100 000 рублей;

В январе сумма кредита возросла, потому что банк начислил проценты: Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ.

С февраля по июнь выплатили 55 000 рублей, таким образом, долг уменьшился: Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ.

В январе банк снова начислил проценты на кредит:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

А после этого последовал второй платеж, и заемщик расплатился  с банком полностью:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Раскрыв скобки, получаем следующее квадратное уравнение:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Определим дискриминант:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

 

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Отрицательный корень посторонний – не подходит по условию.

Ответ: 15

 

Задача 2. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на срок 15 лет.
Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
Найти r, если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1,9 млн рублей, а наименьший – не менее 0,5 млн рублей.


Будем рассуждать так.  Так как нужно, чтобы долг уменьшался на одну и ту же сумму регулярно, то это означает следующее: с февраля по июнь надо выплатить эту часть долга, но, более того, надо выплатить и все проценты, начисленные банком! То есть платежи не могут быть равными в этом случае. Самый большой долг у нас в самом начале, и самые большие проценты соответственно. То есть первый платеж будет самым большим, а потом платежи будут меньше и меньше, и самый последний – будет самым маленьким. Если надо выплачивать 15 раз часть долга, то это Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ. К этой сумме еще добавляются все проценты, начисленные банком – и в этом случае долг меньше каждый год на одну и ту же сумму – 400 000. Так как по условию наименьший годовой платеж равен 500 000, а мы договорились, что он последний, то процент, начисляемый банком, может быть определен: Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, то есть равен Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ%. Можно убедиться, что в этом случае наибольший платеж составит как раз 1,9 млн.
Ответ: 25

Задача 3. 15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.


Задача похожа на предыдущую. Как только мы видим фразу: «долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на» – мы понимаем, что здесь речь идет не о равных платежах, а каждый раз придется выплачивать все проценты, начисленные банком, да еще и часть долга.

Предположим, что взято Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ рублей. Тогда банк начислит проценты на эту сумму, и 1-го числа мы будем уже должны банку Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ рублей.

Нам надо в первый платеж отдать все проценты – то есть Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ рублей, да еще и часть долга тоже, а так как платить нам 39 месяцев, то надо отдать Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ часть долга, или Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ. Весь первый платеж тогда будет Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ. После того, как мы внесли первый платеж, наш долг уменьшается на Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ часть, и остается Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ.

Во второй платеж придется заплатить проценты с оставшегося долга и еще Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ часть долга:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

И так каждый месяц: проценты и еще одна часть долга. Тогда за 39 месяцев мы выплатим все: и весь долг по Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ части, и все проценты. Процентов будет:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Выносим общий множитель:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

В скобках, очевидно, убывающая арифметическая прогрессия, у которой 39 членов и разность равна Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, а первый член – наша сумма кредита Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ. Запишем  сумму прогрессии:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Тогда переплата (сумма сверх взятой у банка) равна: Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, и равна по условию задачи Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Домножаем на 100:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Умножим числитель на 39:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Делим левую часть пополам:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Сократим Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Ответ: 1%

 

Задача 4. 31 декабря 2014 года Олег взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на r%), затем Олег делает очередную выплату. Если он будет платить каждый год по 328050 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 587250 рублей, то за два года. Под какой процент Олег взял деньги в банке?


 

Здесь можно воспользоваться уже ставшей нам родной формулой:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

В этих формулах Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ – процент, начисляемый банком за пользование его деньгами, Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ – срок кредита (лет или месяцев), Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ – платеж (ежегодный или ежемесячный, но всегда один и тот же – равные платежи), Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ – сумма, которую мы одалживаем у банка.

Запишем оба варианта действий заемщика:

Если берем на 4 года, то:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Если берем на 2 года, то:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Во втором уравнении разложим разность квадратов справа на множители и сократим:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

В первом уравнении представляем Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ как разность квадратов: Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Сокращаем:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Выражаем Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ – сумму кредита  – из обоих уравнений:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Приравниваем:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

И снова можем сократить:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Упрощаем:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Замечаем, что сумма цифр в обоих числах в дроби справа делится на 9, и заканчиваются наши числа на 0, поэтому всю дробь сокращаем на 90:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Можно сократить на 5:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

И еще раз на 9:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Тогда:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Так как  Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, определим процент банка:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Ответ: процент, взимаемый банком, равен 12,5%.

 

Задача 5. Молодой человек снимает квартиру в Петербурге и в начале каждого месяца платит за аренду 26000 руб. Деньги он снимает со своего счета в банке. Ежемесячно на сумму остатка на счете банк начисляет процент по ставке Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ %. Придя в начале очередного месяца за деньгами, хозяин квартиры предложил молодому человеку сделку: если он оплатит аренду сразу за два месяца вперед, то арендная плата за каждый из этих двух месяцев будет снижена до 25 500 руб. При каких значениях процентной ставки банка арендатору стоит принимать это предложение?


 

Будем считать, что у молодого преподавателя достаточно денег на счету, и примем это количество за Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ. Тогда, если он сразу платит за 2 месяца, это количество денег уменьшается на 51 тыс. рублей, и на оставшиеся после этого деньги банк начислит проценты, причем дважды:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Если преподаватель на принимает предложения, то он выплачивает 26 тыс. рублей в первый месяц, а на остаток банк начисляет проценты: Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, а затем, во второй месяц, преподаватель из этой суммы снова снимает 26 тыс. рублей, а на оставшиеся средства банк начислит ему проценты:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Если в первом случае на счету остается больше, чем во втором, то предложение выгодно. Тогда:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Сократим одинаковые скобки:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Вынесем скобку Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ за скобку:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Поменяем знаки и знак неравентсва:

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

  Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Ответ: при ставке менее 4% предложение стоит принять.

Определение процента банка.