Сумма первых трех членов возрастающей арифметической прогрессии равна 21. Если от первых двух членов этой прогрессии отнять по 1, а к третьему члену прибавить 2, то полученные три члена составят геометрическую прогрессию. Найти сумму восьми первых членов геометрической прогрессии.

____________________________________________________________________________

Обозначим через ai — члены арифметической прогрессии c разностью d, через bi — геометрической, с знаменателем q.

Согласно формуле суммы арифметической прогрессии имеем S3 = (2a1 + 2d) · 3 / 2 = 21 или a1 + d = 7.

По условию a1 — 1, a1 + d — 1, a1 + 2d + 2 — три последовательных члена геометрической прогрессии. Используем свойство геометрической прогрессии:

(a1 + d — 1)2 = (a1 + 2d + 2)(a1 — 1).

После замены переменной a1 = 7 — d и открытия скобок получаем квадратное уравнение

d2 + 3d — 18 = 0, т.е. d1 = 3, d2 = -6.

Условию удовлетворяет лишь d1 = 3 (т.к. арифметическая прогрессия возрастающая). В этом случае a1 = 4. Находим b1 = a1 — 1 = 3. b2 = a1 + d — 1 = 6, откуда q = 2.

Наконец, согласно формуле суммы членов геометрической прогрессии получаем:

S8 = [b1(q8 — 1)] / (q — 1) = 765.

Ответ: S8 = 765.

Сумма трех чисел, которые составляют арифметическую прогрессию, равна 2, а сумма квадратов этих же чисел равна 14/9. Найти эти числа.

____________________________________________________________________________

Используя тот факт, что числа составляют арифметическую прогрессию, запишем их как aa + da + 2d.

Согласно условию их сумма равна 2, т.е. 3a + 3d = 2, a = 2/3 — d.

Согласно второму условию a2 + (a + d)2 + (a + 2d)2 = 14/9.

После раскрытия скобок получаем 27a2 + 45d2 + 54ad = 14.

Делаем замену переменной a = 2/3 — d, раскрываем скобки и получаем:

d2 = 1/9.

d = ±1/3.

Теперь легко найти числа, составляющие арифметическую прогрессию. При любом из значений d = ±1/3 числа будут равны 1/32/3, 1.

Ответ: 1/32/3, 1.

Найти четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию, в которой третий член больше первого на 9, а второй больше четвертого на 18.

____________________________________________________________________________

Используя тот факт, что числа составляют геометрическую прогрессию, запишем их как bbqbq2bq3.

По условию:

1) bq2 = b + 9.

2) bq = bq3 + 18.

Домножаем первое уравнение на q и складываем со вторым:

9q + 18 = 0.

Откуда q = -2. Из первого уравнения находим bb = 3.

Теперь легко найдем все числа: 3, -6, 12, -24.

Ответ: 3, -6, 12, -24.

Найти сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 7.

___________________________________________________

Сначала найдем минимальное и максимальное трехзначные числа, которые делятся на 7. Это числа 105 и 994 соотвественно. Запишем a1 = 105, am = 994.

Найдем m, т.е. количество трехзначных чисел, которые делятся на 7. Используем свойство прогрессии и получаем:

994 = 105 + 7(m — 1).

Откуда m = 128.

А теперь воспользуемся формулой суммы m членов арифметической прогрессии S128 = (105 + 994) · 128 / 2 = 70336.

Ответ: 70336.

Известно, что LMN — соотвественно l-й, m-й, n-й члены геометрической прогрессии. Доказать, что L mnM nlN lm = 1.

____________________________________________________________________________

Выразим LMN через первый член геометрической прогрессии A и знаменатель q:

L = Aql — 1.

M = Aqm — 1.

N = Aqn — 1.

Тогда L mnM nlN lm =

Amq(l — 1) m / Anq(l — 1) n · Anq(m — 1) n / Alq(m — 1) l · Alq(n — 1) l / Amq(n — 1) m =

qlm / qln · qmn / qml · qnl / qnm = 1.

Что и требовалось доказать.

Три числа, третье из которых равно 12, составляют геометрическую прогрессию. Если вместо 12 взять 9, то эти три числа будут составлять арифметическую прогрессию. Найти эти числа.

____________________________________________________________________________

Согласно условию, запишем первые два числа как a и aq. Т.к. эти два числа и 12 составляют геометрическую прогрессию, то a2q2 = 12a.

Откуда a = 12 / q2.

Т.к. числа aaq, 9 составляют арифметическую прогрессию, то 2aq = a + 9.

Или a(2q — 1) = 9.

Подставляем a из предыдущего суждения и получаем:

12(2q — 1) = 9q2.

3q2 — 8q + 4 = 0.

Решения данного квадратного уравнения q1 = 2, q2 = 2/3.

Зная знаменатель находим тройки чисел. При q = 2 это числа 3, 6, 12. При q = 2/3 это числа 27, 18, 12.

Ответ: 3, 6, 12 и 27, 18, 12.

Сумма третьего и девятого члена члена арифметической прогрессии равна 8. Найти сумму 11 первых членов этой прогрессии.

____________________________________________________________________________

Согласно свойствам арифметической прогрессии a3 + a9 = a1 + a11 = 8.

По формуле суммы S11 = (a1 + a11) · 11 / 2 = (a3 + a9) · 11 / 2 = 44.

Ответ: S11 = 44.

Известно, что некоторая арифметическая прогрессия содержит члены a2n и a2m такие, что имеет место следующее соотношение a2n /a2m = -1. Существует ли член этой прогрессии, который равен нулю? Есть существует, какой номер этого члена?

____________________________________________________________________________

Исходя из условия получаем:

a2n + a2m = 0;

Используя формулу, выражающий некий член прогрессии через первый член и разность, получаем:

a1 + (2n — 1)d + a1 + (2m — 1)d = 0;

2a1 + 2nd + 2md — 2d = 0;

a1 + (n + m — 1)d = 0.

А это и означает, что существует член арифметической прогрессии с первым элементом a1 и разностью d, который равен нулю. Т.е., используя ту же формулу, имеем an + m = 0.

Ответ: Существует, его номер n + m.

Разность арифметической прогрессии не равна нулю. Числа, которые равны произведению первого члена этой прогрессии на второй, второго члена на третий и третьего на первый, в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию. Найти его знаменатель.

____________________________________________________________________________

Обозначим через abc члены арифметической прогрессии. Исходя из свойств арифметической прогрессии 2b = a + c (*).

По условию abbcac образуют геометрическую прогрессию. Найдем ее знаменатель q. Он равен отношению второго члена геометрической прогрессии на первой или третьего на второй. Запишем:

q = bc/ab = ac/bc.

Или q = c/a = a/b.

Из свойств геометрической прогрессии также получаем, что b2c2 = ac·ab, т.е. bc = a2. Или b = a2/c.

Подставляем это значение b в полученное ранее равенство (*):

2a2c = a + с;

2ac = 1 + ca;

Делаем замену q = c/a (которое нам и нужно найти, т.к. это отношение и является искомым знаменателем) и после преобразования получаем квадратное уравнение q2 + q — 2 = 0.

У него два решения q = 1 или q = -2. Но заметим, если q = 1, то ca = ab = 1, т.е. a = b = c, что не удовлетворяет условию, т.к. в данном случае разность арифметической прогрессии равна 0. Потому ответ один q = -2.

Ответ: -2.

 

Прогрессии.