Основные теоремы и формулы

Теорема 1. Площадь круга радиуса r равна πr2.
Теорема 2. Площадь сектора круга радиуса r, ограниченного двумя радиусами этого круга и дугой окружности, имеющей угловую величину α, равна 
Теорема 3. Площадь сегмента круга радиуса r, ограниченного хордой этого круга и дугой окружности, имеющей угловую величину α, равна 

Теорема 4. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности:
AB = BC, ∠ABO = ∠OBC.

Теорема 5. В любом четырехугольнике, описанном около окружности, суммы длин противоположных сторон равны:
AB + CD = AD + BC,\

и наоборот, если в некотором выпуклом четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, то в такой четырехугольник можно вписать окружность.

Теорема 6. В любом треугольнике расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности со стороной треугольника, выходящей из данной вершины, есть разность полупериметра треугольника и стороны, противолежащей данной вершине:
AK = AM = p – BC.

Теорема 7. В любом треугольнике расстояние от вершины треугольника до точки касания вневписанной окружности (касающейся противоположной данной вершине стороны треугольника и продолжений двух других его сторон) с продолжением стороны треугольника, выходящей из данной вершины, есть полупериметр треугольника:
AK = p.

Доказательства некоторых теорем

Доказательство теоремы 6. Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и AC этого треугольника соответственно в точках K, L и M (см. рис. на с. 38) Так как отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны, то AK = AM = x, BK = BL = y,
CL = CM = z. Пусть стороны треугольника равны AB = c, BC = a и AC = b. Имеем:

Следовательно, AK = p – BC.

Доказательство теоремы 7. Пусть окружность касается продолжения стороны AB треугольника ABC в точке K, стороны BC этого треугольника в точке L, продолжения стороны AC — в точке M.

Так как отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны, то AK = AM = x, BK = BL = y, CL = CM = z. Пусть стороны треугольника равны AB = c, BC = a и AC = b. Имеем:

Следовательно, AK = p.

Решения задач

Задача 1. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) проведены биссектрисы AD, BE, CF. Найти BC, если известно, что AC = 1, а вершина A лежит на окружности, проходящей через точки D, E, F.

Решение. Так как вписанный четырехугольник AFDE симметричен относительно прямой AD, то диаметром описанной около него окружности является отрезок AD, а прямая BC — касательной к этой окружности, проведенной в точке D.
Пусть AE = x, тогда EC = 1 – x, BD = DC = y. Применим к треугольнику ABC теорему о биссектрисе внутреннего угла треугольника:

Так как произведение длины отрезка секущей на длину ее внешней части равно квадрату длины касательной, проведенной к окружности из той же точки, имеем:
CA∙CE = CD2 ⇔ 1 – x = y2.
Следовательно,

Значит, 
Ответ

Задача 2. В окружность вписан треугольник со сторонами 7, 24 и 25. Вычислить площадь кругового сегмента, стянутого хордой длины 7.

Решение. Пусть в данном треугольнике ABC AB = 24, BC = 7, AC = 25. Так как верно равенство 72 + 242 = 252, то треугольник ABC — прямоугольный (угол B — прямой), центр O окружности, описанной около этого треугольника, является серединой гипотенузы AC, а радиус этой окружности равен 12,5. Пусть ∠ BAC = α. Из треугольника ABC получаем, что

Значит, 

Тогда ∠BOC = 2α, и площадь сегмента окружности, стянутого хордой BC, равна

Ответ

Задача 3. В равнобедренном треугольнике ABC угол между равными сторонами AB и AC равен  Из вершин треугольника ABC на его стороны опущены высоты AA1, BB1, CC1. Через точки A, B1 и C1 проведена окружность O, а через точки B, A1 и C1 — окружность O1. Найти отношение площади круга O к площади общей части кругов O и O1.

Решение. Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC, Q и Q1 — центры окружностей O и O1 соответственно, R и R1 — их радиусы. Рассмотрим четырехугольник AC1HB1. Так как его противолежащие углы AC1H и AB1H равны  то окружность O является описанной около этого четырехугольника, а ее центр Q есть середина отрезка AH. Аналогично, окружность O1 описана около четырехугольника BA1HC1, а ее центр Q1 есть середина отрезка BH. Пусть R = 1, тогда

Так как угол AB1B — прямой, то угол ABB1 равен  и

Общая часть кругов O и O1 есть объединение двух непересекающихся сегментов круга O и круга O1. Вычислим отдельно площадь каждого из этих сегментов. Дуга C1H сегмента круга O имеет угловую величину

поэтому площадь этого сегмента равна

Дуга C1H сегмента круга O1 имеет угловую величину

поэтому площадь этого сегмента равна

Искомое отношение равно

Ответ

Задача 4. В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AB = 3 и BC = 4 через середины сторон AB и AC проведена окружность, касающаяся стороны BC. Найти длину отрезка гипотенузы AC, который лежит внутри этой окружности.

Решение. Пусть D, E, F — соответственно середины сторон AB, AC и BC треугольника ABC, O — центр данной окружности, G — точка касания окружности с отрезком BC. Так как центр окружности, проходящей через точки D и E, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку DE, который является также серединным перпендикуляром к отрезку BF, то BG = GF = 1, а GC = 3. Пусть H — вторая точка гипотенузы AC, лежащая на окружности. Применив теорему Пифагора к треугольнику ABC, найдем длину гипотенузы AC:

Так как произведение длины отрезка секущей на длину ее внешней части равно квадрату длины касательной, проведенной к окружности из той же точки, имеем:

Ответ

Задача 5. Вне прямого угла с вершиной C, на продолжении его биссектрисы взята точка O так, что  С центром в точке O построена окружность радиуса 2. Найти площадь фигуры, ограниченной сторонами угла и дугой окружности, заключенной между ними.

Решение. Пусть K и M — точки пересечения окружности со сторонами угла. Разобьем фигуру, площадь которой надо найти, на сегмент MK и треугольник CMK и найдем площади S1 и S2 этих частей. Сначала вычислим площадь сегмента. Рассмотрим треугольник OCK, в нем

Применим к этому треугольнику теорему синусов:

Следовательно,

Площадь сегмента MK равна

Вычислим теперь площадь треугольника CMK. Применив снова к треугольнику OCK теорему синусов, получим, что

Значит, площадь треугольника CMK равна

Следовательно, искомая площадь равна

Ответ

Задача 6. В равнобедренный треугольник с основанием a и углом при основании α вписана окружность. Кроме того, построена вторая окружность, касающаяся боковых сторон треугольника и вписанной в него окружности. Определить радиус второй окружности.

Решение. Обозначим через B вершину, а через AC — основание данного треугольника. Пусть M и T1 — точки касания вписанной окружности со сторонами AC и AB соответственно, O1 и r1 — соответственно центр и радиус этой окружности. Пусть также вторая окружность с центром O2 и радиусом r2 касается первой окружности в точке T, а стороны AB — в точке T2. Так как треугольник ABC — равнобедренный, то точки B, O2, T, O1 и M лежат на одной прямой, являющейся высотой этого треугольника. Радиус r1 найдем из прямо­угольного треугольника AO1M:

Найдем отношение r1 : r2. Заметим, что тре­угольники BO1T1 и BO2T2 подобны, поэтому верно равенство

где  Продолжая полученное равенство, получаем, что

Ответ

Задача 7. На плоскости дан прямой угол. Окружность с центром, расположенным внутри этого угла, касается одной стороны угла, пересекает другую сторону в точках A и B и пересекает биссектрису угла в точках C и D. Длина хорды AB равна  длина хорды CD равна  Найти радиус окружности.

Решение. Пусть Q — вершина прямого угла, O — центр данной окружности, OM и ON — перпендикуляры, опущенные из точки O на прямые QC и QB соответственно. Обозначим через R радиус данной окружности, через K — точку касания окружности со стороной угла, через L — точку пересечения прямых KO и QC. Применим к тре­угольнику AON теорему Пифагора:

Из построения вытекает, что четырехугольник OKQN является прямоугольником, а треугольники KLQ и LMO — прямоугольными и равнобедренными. Имеем:

Применив теперь к треугольнику DMO теорему Пифагора, получим, что

откуда R2 = 2 или  Геометрический смысл имеет лишь значение 
Ответ

Задача 8. На отрезке AB длины 2R как на диаметре построена окружность. Вторая окружность такого же радиуса, что и первая, имеет центр в точке A. Третья окружность касается первой внутренним образом, второй — внешним образом,
а также касается отрезка AB. Найти радиус третьей окружности.

Решение. Обозначим через O и Q соответственно центры первой и третьей окружностей, через C — точку касания первой и третьей окружностей, через D — точку касания второй и третьей окружностей, а через K — точку касания третьей окружности и отрезка AB. Пусть r — радиус малой окружности.
Так как центры касающихся окружностей и точка их касания лежат на одной прямой, то
OQ = R – r, а AQ = R + r. Применим к треугольнику AKQ теорему Пифагора:

Применив теперь теорему Пифагора к треугольнику OQK, получим:

Ответ

Задача 9. В плоском четырехугольнике ABCD длина стороны AB равна  длина стороны AD равна 14, длина стороны CD равна 10. Известно, что угол DAB — острый, причем синус его равен  косинус угла ADC равен  Окружность с центром в точке O касается сторон AD, AB и BC. Найти длину отрезка BO.

Решение. Опустим перпендикуляры BM и CN из точек B и C на прямую AD. Так как угол DAB острый, точка M лежит с той же стороны относительно точки A, что и D.

Из треугольника ABM находим:

поэтому точка M лежит между A и D. Из того же треугольника ABM можно найти

Аналогично, cos ∠ADC < 0, поэтому угол ADC — тупой. Следовательно, точка D лежит между точками A и N. Из треугольника CDN находим:

Отметим, что BM < CN. Опустим перпендикуляр BP из точки B на отрезок CN. Рассмотрим треугольник BCP, в нем

Применим к треугольнику BPC теорему Пифагора:

Применив теперь теорему косинусов к тре­угольнику ACD, получим

Применив теорему косинусов к треугольнику ABC, найдем угол ABC:

Пусть ∠BAD = α, ∠ABC = β. Рассмотрим треугольник ABO. Так как окружность касается сторон AD, AB, BC, то ее центр O находится в точке пересечения биссектрис углов BAD и ABC. Значит,

Для нахождения длины отрезка BO воспользуемся теоремой синусов:

Вычислим входящие в это выражение значения:

(косинус положителен, так как угол острый);

Тогда

Ответ

Задача 10. В треугольнике ABC известно, что ∠BAC = α, ∠BCA = β, AC = b. На стороне BC взята точка D так, что BD = 3DC. Через точки B и D проведена окружность, касающаяся стороны AC или ее продолжения за точку A. Найти радиус этой окружности.

Решение. Пусть K — точка касания прямой AC с окружностью, CD = x, тогда BD = 3x. Произведение длины отрезка секущей на длину ее внешней части равно квадрату касательной, проведенной к окружности из той же точки, следовательно, верно равенство CK2 = CDжCB = 4×2, откуда
CK = 2x. Для нахождения x применим теорему синусов к треугольнику ABC:

Применим к треугольнику KDC теорему косинусов:

Рассмотрим треугольник BCK, в нем BC = 4x, KC = 2x, ∠BCK = β. Применив к этому треугольнику теорему косинусов, получим:

Треугольник BDK вписан в данную окружность. Поэтому искомый радиус — это радиус описанной около треугольника BDK окружности. Найдем его по формуле

Площадь треугольника BDK вычислим по формуле Герона:

Следовательно,

Ответ

Решаем задачи по геометрии(авт Садовничий Ю.)