Пример 4. При каких a уравнение |x^2+2x-3|-2a==|x-a|+3 имеет ровно три корня?

Решение. Используем графический метод решения. График функции y=|x^2+2x-3| отличается от параболы y=x^2+2x-3 только тем, что отрицательная ее область зеркально отражается вверх относительно оси OX (ведь модуль не может принимать отрицательных значений).

График функции y=|x-a|+2a+3 представляет собой всем известную «галочку», вершина которой смещена в точку (a;2a+3). В зависимости от значений параметра a возможны следующие варианты взаимного расположения этих графиков на координатной плоскости:

Задача с параметром ЕГЭ графическое решение

Видно, что три решения уравнение будет в случае фиолетовой и бежевой «галочки». Первый случай выполняется при условии выполнения равенства 0=|-3-a|+2a+3\Leftrightarrow a=-2. Второй случай выполняется при условии, что дискриминант квадратного уравнения x^2+x+3a=0 равен нулю, то есть при a=\frac{1}{12}.

Ответ: -2,\,\frac{1}{12}.

Задача для самостоятельного решения №4. При каких a уравнение |x^2-2x-3|-2a=|x+a|+3 имеет ровно три корня?

Пример 5. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

  \[ \begin{cases} x^2+y^2 = 2a, \\ 2xy=2a-1 \end{cases} \]

имеет ровно два решения.

Решение. Вместо 2a во втором уравнении подставляем x^2+y^2 из первого, тогда второе уравнение системы принимает вид:

  \[ 2xy = x^2+y^2-1\Leftrightarrow (x-y)^2 = 1\Leftrightarrow \]

  \[ \left[\begin{array}{l} x-y = 1, \\ x-y = -1 \end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x = y+1, \\ x = y-1. \end{array}\right. \]

Обращаем внимание на то, что каждому найденному значению y будет соответствовать единственное значение x, такая пара (x;y) будет одним решением системы. Подставляя полученные выражения во второе уравнение системы, получаем два квадратичных уравнения: 2y^2 + 2y -2a +1 =0 и 2y^2 - 2y -2a +1 =0 . Дискриминант и того, и другого равен 16a-4.

Нам нужно, чтобы у каждого из этих уравнений было по одному решению, тогда у исходной системы их будет два. Это условие выполняется в том случае, когда полученный дискриминант равен нулю. Итак, окончательный ответ: a=\frac{1}{4}.

Задача для самостоятельного решения №5. При каких положительных значениях a неравенство \frac{a+2x}{ax-4}\geqslant \frac{5}{x} справедливо для всех x>10?

 

Пример 6. Найти все значения параметра a, при которых система

  \[ \begin{cases}\log_a y = (x^2-2x)^2, \\ x^2+y=2x\end{cases} \]

имеет ровно два решения.

Решение. Преобразуем систему к следующему виду:

  \[ \begin{cases} \log_a y = (2x-x^2)^2, \\ y = 2x-x^2. \end{cases} \]

Поскольку параметр a находится в основании логарифма, на него накладываются следующие ограничения: a>0,\, a \ne 1. Поскольку переменная y стоит под знаком логарифма, на нее накладывается следующее ограничение: y > 0.

Скомбинировав оба уравнения системы, переходим к уравнению: \log_a y = y^2. В зависимости от того, какие значения принимает параметр a, возможны два случая:

1) Пусть 0 < a < 1. В этом случае функция f_1(y) = \log_a y убывает в области допустимых значений, а функция f_2(y)=y^2 возрастает в той же области. Вспомнив внешний вид графиков соответствующих функций , осознаем, что корень у уравнения один, при этом оно меньше 1. Второе уравнение системы и вся система в целом имеют, следовательно, два решения в силу того, что дискриминант уравнения x^2-2x+y = 0 при 0<y<1положителен. Рассматриваемый случай нам полностью подходит.

2) Пусть теперь a > 1. В этом случае функция f_1(y)=\log_a yвозрастает на области допустимых значений, и функция f(y) = y^2возрастает в этой области. Вспомнив внешний вид графиков соответствующих функций, осознаем, что пересечься в одной точке они могут только в случае касания друг друга. Однако, касание это может произойти лишь в точке, абсцисса которой больше 1. Второе уравнение системы и вся система в целом, следовательно, иметь решений не будут в силу того, что дискриминант уравнения x^2-2x+y = 0 при y>1отрицателен.

Итак, окончательный ответ: a\in(0;1).

Задача для самостоятельного решения №6. Для каждого допустимого значения a решите неравенство a^x(a-1)^x-2a^{x+1}--(a-1)^x+2a\leqslant 0 и найдите, при каких значениях a множество решений неравенства представляет собой промежуток длины 2.

 

Пример 7. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 4x-|3x-|x+a||=9|x-3| имеет два корня.

Решение. Перепишем уравнение в виде:

  \[ 9|x-3|-4x+|3x-|x+a|| = 0. \]

Рассмотрим функцию:

  \[ f(x) = 9|x-3|-4x+|3x-|x+a||. \]

При x\geqslant 3 первый модуль раскрывается со знаком плюс, и функция принимает вид: f(x) = 5x-27+|3x-|x+a||. Очевидно, что при любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом k\geqslant 5-3-1=1>0, то есть эта функция на данном промежутке возрастает.

Рассмотрим теперь промежуток, на котором x<3. В этом случае первый модуль раскрывается с минусом и функция принимает следующий вид: f(x) = -13x+27+|3x-|x+a||. Также легко видеть, что при любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом k\leqslant -13+3+1 = -9<0, то есть на этом промежутке функция убывает.

Итак, мы получили, что x=3 — точка минимума данной функции. А это означает, что для того, чтобы график данной функции пересекал ось OY в двух точках (то есть у исходного уравнения уравнения было два решения), значение функции в точке минимума должно быть меньше нуля. То есть имеет место неравенство: f(3)<0.

После несложных преобразований получаем окончательный ответ: -12+|9-|3+a||>0\Leftrightarrow a\in(-\mathcal{1};-24)\cup(18;+\mathcal{1}).

Задача для самостоятельного решения №7. При каких значениях aуравнение \cos 2x+2\cos x-2a^2-2a+1=0 имеет ровно одно решение на промежутке [0;2\pi).

 

Пример 8. Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система:

  \[ \begin{cases} a^{2x-y-1} = x+3y-7, \\ 4y-x = 6 \end{cases} \]

имеет ровно два решения.

Решение.

Выразим x из второго уравнения и подставим в первое, получаем:

  \[ \begin{cases} a^{2x-y-1} = x+3y-7, \\ x=4y-6\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a^{7y-13} = 7y-13, \\ x=4y-6. \end{cases} \]

Для того, чтобы данная система имела два решения, необходимо, чтобы два решения имело первое уравнение этой системы. Нас интересуют только a > 0.

1) При a = 1 получаем линейное уравнение: 1=7y-13, которое имеет одно решение. Этот случай не подходит.

2) Рассматриваем случай, когда 0 < a < 1. Уравнение принимает вид: a^t = t. Его правая часть представляет из себя возрастающую функцию, левая — убывающую. Это означает, что если у такого уравнения есть решение, то оно единственное. Этот случай нам не подходит.

3) Теперь рассмотрим случай, когда a > 1. В зависимости от конкретного значения параметра a уравнение вида a^t = t,\, a>1 может не иметь решений (нет точек пересечения соответствующих графиков), иметь одно решение (прямая касается экспоненты), иметь два решения (две точки пересечения). Нам подходит последний случай.

Разберемся со случаем, когда прямая касается экспоненты. Пусть \tau — абсцисса точки касания. В этой точке производная к экспоненте равняется единице (тангенс угла наклона касательной), кроме того значения обоих функций совпадают, то есть имеет место система:

  \[ \begin{cases} a^{\tau}\ln a = 1, \\ a^{\tau} = \tau \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a^{\tau} = \frac{1}{\ln a}, \\ a^{\tau} = \tau \end{cases}\Leftrightarrow \tau = \frac{1}{\ln a}\Leftrightarrow \]

  \[ a^{\frac{1}{\ln a}}\ln a = 1\Leftrightarrow a^{\log_a e} =\frac{1}{\ln a}\Leftrightarrow a = e^{\frac{1}{e}}. \]

Если значение параметра окажется меньше, точек пересечения прямой и экспоненты уже будет две. Итак, окончательный ответ: a\in\left(1; e^{\frac{1}{e}}\right).

Задача для самостоятельного решения №8. Найти все значения a,при каждом из которых наименьшее значение функции f(x)=4ax+|x^2-6x+5| больше, чем -24.

 

Решение задач с параметрами повышенной сложности