Решение нестандартных уравнений и неравенств с помощью метода мажорант

Решение нестандартных уравнений и неравенств с помощью метода мажорант

Метод мажорант применяется при решении нестандартных уравнений и неравенств, которые не получается решить с помощью стандартных приемов. При подготовке к ЕГЭ  по математике, если вы хотите научиться решать задания группы С, с этим методом необходимо познакомиться.

В этой статье я показываю решение задачи С3 и задачи С1, которые решаются с использованием этого метода.

Название метода мажорант происходит от французских слов majorer — объявлять большим и minorer — объявлять меньшим.

Метод мажорант основан на том, что множество значений некоторых функций ограничено. При использовании метода мажорант мы выявляем точки ограниченности функции, то есть в каких пределах изменяется данная функция,  а затем используем эту информацию для решения уравнения или неравенства.

Чтобы успешно пользоваться этим методом, нужно хорошо знать, какие функции имеют ограниченное множество значений.

Приведем примеры элементарных функций, которые имеют ограниченное множество значений:

1. -1<=sinx<=1 или delim{|}{sinx}{|}<=1
2. -1<=cosx<=1 или delim{|}{cosx}{|}<=1
3. x^{2n}>=0
4. a^x>0
5. delim{|}{x}{|}>=0
6. sqrt{x}>=0
7. -{pi}/2<=arcsinx<={pi}/2
8. 0<=arccosx<={pi} 
9. -{pi}/2<arctgx<{pi}/2 
10. 0<arcctgx<{pi}

 

Маркером того, что в данном уравнении нужно применить метод мажорант, является
a) наличие в уравнении функций, уравнения с которыми решаются принципиально разными способами. Например, если в одной части уравнения стоит многочлен, а в другой — тригонометрические функции.

б) или если очевидно, что стандартными методами уравнение не решить.

При решении уравнения с помощью метода мажорант , мы, как правило:

  • выясняем, что правая часть уравнения больше или равна какого-то числа, а левая — меньше или равна. Или наоборот.
  • равенство возможно, если обе части уравнения равны этому числу
  • приравниваем ту часть уравнения, которая проще, к этому числу и находим соответствующее значение х
  • проверяем, что при этом значении х другая часть уравнения также равна этому числу.

Рассмотрим примеры уравнений такого рода:

1. Решите уравнение:  (x-3)^4+(x^2-2x-3)^10=0
Очевидно, что мы не будем возводить двучлен в четвертую степень и трехчлен в десятую.

Заметим, что 4 и 10 — четные числа, следовательно,

(x-3)^4>=0 при любом значении х

и (x^2-2x-3)^10>=0 при любом значении х.

Равенство возможно, если одновременно (x-3)^4=0 и (x^2-2x-3)^10=0

Корень первого уравнения x=3,

корни второго уравнения x=-1 и x=3.  Число x=3 является корнем обоих уравнений, его мы и запишем в ответ.

Ответ: 3

 

2. Решите неравенство:

4sqrt{(3x-1)^2}+sqrt{log^2_{2}{x^2}+16log_4{x}}<=4-12x

1. Упростим первый корень:
4{delim{|}{3x-1}{|}}+sqrt{log^2_{2}{x^2}+16log_4{x}}<=4-12x
2. Не будем торопиться раскрывать модуль. Заметим, что оба слагаемых в левой части неравенства неотрицательны, следовательно, правая часть также должна быть неотрицательна, то есть
4-12x>=0

x<=1/3

При этих значениях x подмодульное выражение отрицательно, следовательно, раскрываем модуль с противоположным знаком:

-4({3x-1})+sqrt{log^2_{2}{x^2}+16log_4{x}}<=4-12x

4-12x+sqrt{log^2_{2}{x^2}+16log_4{x}}<=4-12x

В правой и левой частях неравенства стоит выражение 4-12x . Вычтем его из обеих частей неравенства:

sqrt{log^2_{2}{x^2}+16log_4{x}}<=0

Так как квадратный корень — величина неотрицательная, следовательно, неравенство выполняется только если левая часть равна нулю.

3. Остается решить уравнение

log^2_{2}{x^2}+16log_4{x}=0

а) Приведем второй логарифм к основанию 2:

log^2_{2}{x^2}+8log_2{x}=0

б) Преобразуем первое слагаемое:

log^2_{2}{x^2}=(log_2{x^2})^2=(2log_2{delim{|}{x}{|}})^2=(2log_2{x})^2 — мы раскрыли модуль с тем же знаком, так как x>0 по ОДЗ исходного неравенства.

в) Теперь мы можем ввести замену переменной: log_2{x}=t.
Получим уравнение:4t^2+8t=0
Отсюда t=0 или t=-2

в) Вернемся к исходной переменной:

log_2{x}=0 или log_2{x}=-2

Отсюда x=1 или x=1/{4}

Легко проверить что только число x=1/{4} является решением исходного неравенства. Так как мы не находили ОДЗ, проверку сделать необходимо.

Ответ: 1/{4}

 

3. a) Решите уравнение:  log_2{(5+3cos(3x-{pi}/4))}=sin^2{(2x-{2{pi}}/3)}

б) Найдите все корни уравнения, на промежутке [-{pi};{2{pi}}]

 

1.   Оценим, в каких пределах может принимать значения левая часть неравенства:

-1<=cos(3x-{pi}/4)<=1

-3<=3cos(3x-{pi}/4)<=3

2<=5+3cos(3x-{pi}/4)<=8

Так как все части неравенства положительны, прологарифмируем неравенство:

log_2{2}<=log_2{(5+3cos(3x-{pi}/4))}<=log_2{8}

1<=log_2{(5+3cos(3x-{pi}/4))}<=3

Итак, левая часть неравенства больше или равны единицы.

2. Оценим, в каких пределах может принимать значения правая часть  неравенства:

0<=sin^2({2x-{2{pi}}/3})<=1

Получили, что  правая часть неравенства меньше или равна единицы.

Равенство возможно, только если обе части одновременно равны 1.

Найдем при каких значениях x выполняется равенство

log_2{(5+3cos(3x-{pi}/4))}=1

5+3cos(3x-{pi}/4)=2

3cos(3x-{pi}/4)=-3

cos(3x-{pi}/4)=-1

3x-{pi}/4={pi}+2{pi}k, k{in}{bbZ}

3x={pi}/4+{pi}+2{pi}k, k{in}{bbZ}

3x={5{pi}}/4+2{pi}k, k{in}{bbZ}

x={5{pi}}/{12}+{2{pi}k}/3, k{in}{bbZ}

Итак, левая часть уравнения равна 1 при

x={5{pi}}/{12}+{2{pi}k}/3, k{in}{bbZ}

Найдем при каких значениях х правая часть равна 1.

sin^2{(2x-{2{pi}}/3)}=1 если

sin({2x-{2{pi}}/3})={pm}1

2x-{2{pi}}/3={pi}/2+{pi}n, n{in}{bbZ}

2x={2{pi}}/3+{pi}/2+{pi}n, n{in}{bbZ}

2x={7{pi}}/6+{pi}n, n{in}{bbZ}

x={7{pi}}/12+{{pi}n}/2, n{in}{bbZ}

Итак, правая часть уравнения равна 1 при

x={7{pi}}/12+{{pi}n}/2, n{in}{bbZ}

Это решение должно совпадать с тем значением x, при котором левая часть равна 1.

Выпишем значения x из промежутка 0; 2{pi}:

При n=0 x={7{pi}}/{12}

При n=1 x={7{pi}}/{12}+{pi}/2={13{pi}}/{12}

При n=2 x={7{pi}}/{12}+{pi}={19{pi}}/{12}

При  n=3 x={7{pi}}/{12}+{3{pi}}/2={25{pi}}/{12}

При  n=4 x={7{pi}}/{12}+{4{pi}}/2={7{pi}}/{12}+2{pi} — эта точка совпадет с первой точкой и цикл начнется снова.

Вспомним, что  левая часть уравнения равна 1 при x={5{pi}}/{12}+{2{pi}k}/3, k{in}{bbZ}

Выпишем значения x из промежутка 0; 2{pi}

При k=0 x={5{pi}}/{12}

При k=1 x={5{pi}}/{12}+{2{pi}}/3={13{pi}}/{12}

При k=2 x={5{pi}}/{12}+{4{pi}}/3={21{pi}}/{12}

При k=3 x={5{pi}}/{12}+{6{pi}}/3={5{pi}}/{12}+2{pi} — эта точка совпадает с первой точкой, и цикл начинается снова.

Мы видим, что при x={13{pi}}/{12} обе части уравнения равны 1.

Итак, решение уравнения x={13{pi}}/{12}+2{pi}n, n{in}{bbZ}

Ответим на вторую часть задания:

б) Найдите все корни уравнения на промежутке [-{pi};{2{pi}}

Отметим на тригонометрическом круге полученное решение — эта точка изображена фиолетовым цветом. Она отстоит от pi на {pi}/12

Мы начинаем движение по кругу из точки -{pi}, и первое решение, которое нам встречается соответствует углу поворота на -{pi}+{pi}12=-{11{pi}}/12

Затем мы проходим по кругу точку 0, точку {pi}]и следующее решение, которое принадлежит указанному промежутку {pi}+{pi}/12={13{pi}}/12

Ответ: а) x={13{pi}}/{12}+2{pi}n, n{in}{bbZ}

б) -{11{pi}}/12{13{pi}}/12

Решение нестандартных уравнений и неравенств с помощью метода мажорант