Пример 2. При каких значениях параметра a уравнение 5^{2x}-3\cdot 5^x+a-1=0 имеет единственный корень?

Решение.

Используем следующую замену: t = 5^x > 0. Тогда первоначальное уравнение принимает вид: t^2-3t+a-1 =0. Исходное уравнение будет иметь единственный корень в том случае, если у данного уравнения будет один положительный корень либо два корня, один из которых положительный, другой — отрицательный или равный нулю.

1) Дискриминант уравнения равен: 13-4a. Один корень это уравнение будет иметь в том случае, если полученный дискриминант окажется равным нулю, то есть при a = \frac{13}{4}. При этом корень t=\frac{3}{2} — положителен. Данное значение a нам подходит. Запомнили.

2) Рассматриваем случай, когда существует два корня, один из которых положителен, другой — неположителен. Условия, при которых эта ситуация реализуется, могут быть записаны следующим образом:

  \[ \begin{cases} a<\frac{13}{4}, \\ \frac{3+\sqrt{13-4a}}{2}>0,\\ \frac{3-\sqrt{13-4a}}{2}\leqslant 0 \end{cases}\Leftrightarrow a\in(-\mathcal{1};1]. \]

Окончательно: x\in(-\mathcal{1};1]\cup\left\{\frac{13}{4}\right\}.

Задача для самостоятельного решения №2. Найдите все значения b, при которых уравнение x-2=\sqrt{2(b-1)x+1} имеет единственное решение.

 

Пример 3. При каких значениях параметра a уравнение x(x+3)^2+a =0 имеет ровно три корня?

Решение. Перепишем уравнение в виде: x(x+3)^2 = -a. Найдем промежутки возрастания и убывания функции f(x) = x(x+3)^2. Для этого найдем сперва ее производную:

  \[ f'(x) = (x+3)^2+2x(x+3) = 3x^2+12x+9. \]

Нули производной равны x_1=-1,\,x_2 = -3.

Производная принимает положительные значения на промежутке x\in(-\mathcal{1};-3)\cup(-1; +\mathcal{1}), на промежутке x\in(-3;-1) она принимает отрицательные значения. То есть в точке  x=-3возрастание функции сменяется ее убыванием, то есть это точка максимума. Значение функции в этой точке: f(-3) = 0. Напротив, в точке x=-1 убывание функции сменяется ее возрастанием, то есть это точка минимума. Значение функции в этой точке: f(-1) = -4.

График функции y = x(x+3)^2

Следовательно, три решения исходное уравнение будет иметь в том случае, если прямая y = -a на координатной плоскости будет располагаться выше прямой y=-4 и ниже прямой y=0. Значит верно двойное неравенство: -4<-a<0. Откуда получаем окончательный ответ: 0<a<4.

Задача для самостоятельного решения №3. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение 2\cos 2x - 4a\cos x+ +a^2+2 = 0 не имеет решений.

Решение «типичных» задач с параметрами