Пример 1. При каких значениях a корни уравнения (a-2)x^2-2ax+a+3=0 положительны?

Решение.

1) Начнем с рассмотрения случая, когда a=2. Тогда уравнение принимает вид -4x +5 = 0, откуда получаем, что x=\frac{5}{4} — положительный корень. Значит данное значение a нам подходит. Запомнили.

2) Теперь рассматриваем случай, когда a\ne 2. Получается квадратное уравнение. Определим сначала при каких значениях a данное уравнение имеет корни. Нужно, чтобы его дискриминант был неотрицателен. То есть:

  \[ D = 4a^2 - 4(a-2)(a+3) = -4a+24\geqslant 0\Leftrightarrow \]

  \[ a\leqslant 6. \]

Корни по условию должны быть положительны, следовательно имеет место система:

  \[ \begin{cases}\frac{2a+\sqrt{24-4a}}{2a-4}>0,\\\frac{2a-\sqrt{24-4a}}{2a-4}> 0,\\$a\leqslant 6\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a\in(-\mathcal{1};-3)\cup(2;6], \\ a\in(-\mathcal{1};2)\cup(2;6], \\ a\in(-\mathcal{1};6] \end{cases}\Leftrightarrow \]

  \[ a\in(-\mathcal{1};-3)\cup(2;6]. \]

3) Объединяем ответы полученные в предыдущих двух пунктах и получаем искомый промежуток: a\in(-\mathcal{1};-3)\cup[2;6].

Задача для самостоятельного решения №1. Для каждого значения a решите уравнение x|x+1|+a=0.

 

Решение «типичных» задач с параметрами