Наиболее часто используемый способ решения задач с модулем состоит в том, что модуль раскрывается на основании определения. Для этого находим, при каких значениях переменной выражение, стоящее под модулем, неотрицательно, а при каких — отрицательно. Рассмотрим этот метод на примерах.

Пример 1. Решить уравнение

|x+3|=2x-3.

Решение. Рассмотрим первый случай x+3\ge0, то есть x\ge-3 (выражение под модулем неотрицательно). Уравнение в этом случае принимает вид x+3=2x-3, его решение x=6. Это решение удовлетворяет условию x\ge-3. Таким образом, 6 — корень исходного уравнения.

Во втором случае x+3<0, то есть x<-3. В этом случае уравнение преобразуется к виду -x-3=2x-3, его решение x=0. Этот корень не удовлетворяет условию x<-3, таким образом, 0 не является корнем исходного уравнения.

Ответ. \{6\}.

Пример 2. Решить уравнение

|x^2-2x-4|=3x-2.

Решение. Сначала найдем корни уравнения x^2-2x-4=0. Это 1\pm\sqrt{5}. Следовательно, условие x^2-2x-4\ge0 выполняется при x\le1-\sqrt{5} и при x\ge1+\sqrt{5}, а условие x^2-2x-4<0 — при 1-\sqrt{5}<1+\sqrt{5}. Рассмотрим два случая:

1) x\in\left(-\infty;1-\sqrt{5}\right]\cup\left[1+\sqrt{5};+\infty\right).

Исходное уравнение на этом множестве имеет вид x^2-2x-4=3x-2.

Его корни \displaystyle x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{33}}{2}. Из них только \displaystyle\frac{5+\sqrt{33}}{2} попадает под наш случай. Докажем это:

\begin{array}{c}<br />
\displaystyle 1-\sqrt{5}<\frac{5-\sqrt{33}}{2}<1+\sqrt{5}\Leftrightarrow\\[2mm]<br />
\Leftrightarrow2-2\sqrt{5}<5-\sqrt{33}<2+2\sqrt{5}\Leftrightarrow\\<br />
\Leftrightarrow-3-2\sqrt{5}<-\sqrt{33}<-3+2\sqrt{5}\Leftrightarrow\\<br />
\Leftrightarrow3+2\sqrt{5}>\sqrt{33}>3-2\sqrt{5}.<br />
\end{array}

Так как \sqrt{5}>2, то 3-2\sqrt{5}<0, и, действительно, \sqrt{33}>0>3-2\sqrt{5}. Для доказательства левой части двойного неравенства возведем его в квадрат (это можно сделать, поскольку обе части неравенства неотрицательны):

\sqrt{33}<3+2\sqrt{5}\Leftrightarrow33<9+12\sqrt{5}+20.

Так как 12\sqrt{5}>4, последнее неравенство также выполняется, и корень \displaystyle\frac{5-\sqrt{33}}{2} — посторонний. Из очевидной цепочки неравенств

1+\sqrt{5}<\frac{5+\sqrt{33}}{2}\Leftrightarrow2+2\sqrt{5}<5+\sqrt{33}\Leftrightarrow 2\sqrt{5}<3+\sqrt{33}\Leftrightarrow

20<9+6\sqrt{33}+33 следует, что \displaystyle\frac{5+\sqrt{33}}{2} является корнем уравнения.

2) x\in\left(1-\sqrt{5};1+\sqrt{5}\right).

В этом случае x^2-2x-4<0, и от исходного уравнения мы переходим к уравнению -x^2+2x+4=3x-2. Решения этого уравнения: -3 и 2. Из них только число 2 попадает на указанный промежуток:

\begin{array}{c}<br />
0<2<1+\sqrt{5}\Leftrightarrow1<\sqrt{5},\\<br />
-3<1-\sqrt{5}\Leftrightarrow3>-1+\sqrt{5}\Leftrightarrow4>\sqrt{5},<br />
\end{array}

корень -3 — посторонний.

Ответ. \displaystyle\left\{2;\frac{5+\sqrt{33}}{2}\right\}.

Замечание. Здесь описан стандартный прием, всегда приводящий к цели. Однако, как мне совершенно справедливо указали в комментариях Nynko и Талгат, существуют и более простые способы решения данного примера.

Вот что предлагает Nynko. Нужно решить эквивалентную совокупность систем :

[x^2-2x-4=(3x-2); 3x-2\ge0] и [x^2-2x-4=-(3x-2); 3x-2\ge0].

Сравнивать полученные корни теперь придется с рациональным числом 2/3, что намного проще.

Если под модулем стоит более простое выражение, чем выражение в правой части, то нужно применять метод, описанный в примере 2.

Пример 3. Решить уравнение

|x-1|+|x-2|=x+3.

Решение. Корни выражений, стоящих под модулем, — 1 и 2. Числовая ось разбивается точками 1 и 2 на три промежутка, изображенных на рис. 12:

Рассмотрим каждый из этих случаев.

1) x\ge2. Поскольку оба выражения, стоящие под модулем, неотрицательны на рассматриваемом промежутке, исходное уравнение преобразуется к виду x-1+x-2=x+3. Решение этого уравнения x=6. Этот корень попадает на промежуток [2,+\infty) и поэтому является решением исходного уравнения.

2) 1\le x<2. Поскольку первое выражение, стоящее под модулем, положительно, а второе отрицательно на рассматриваемом промежутке, то исходное уравнение преобразуется к виду x-1+2-x=x+3. Решение этого уравнения x=-2. Поскольку -2 не попадает на рассматриваемый промежуток [1,2), то этот корень — посторонний.

3) x<1. Поскольку оба выражения, стоящие под модулем, отрицательны на рассматриваемом промежутке, исходное уравнение преобразуется к виду 1-x+2-x=x+3. Решение этого уравнения x=0. Этот корень принадлежит промежутку (-\infty,1) и является решением исходного уравнения.

Ответ. \{0;6\}.

Пример 4. Решить уравнение

||x+3|+x|=1.

Решение. Для решения этого уравнения раскроем модули, начиная с внутреннего. Рассмотрим два случая: 1) x\ge-3 и 2) x<-3.

1) В этом случае |x+3|=x+3, и исходное уравнение преобразуется к виду |2x+3|=1. Решая это уравнение, получаем корни -2 и -1.

2) При x<-3 раскрываем внутренний модуль: |x+3|=-x-3. Получаем уравнение |-3|=1, которое решений не имеет.

Ответ. \{-2;-1\}.

Пример 5. Решить уравнение

|x-3|+|x+3|=6.

Решение. Из геометрических свойств модуля имеем: |x-3| — это расстояние между точкой x и точкой 3|x+3| — расстояние между точкой xи точкой -3. Таким образом, |x-3|+|x+3| — это сумма расстояний от точки x до точек -3 и 3. Поскольку расстояние между точками -3 и 3 равно 6, то любая точка x, лежащая на числовой оси между точками -3 и 3, удовлетворяет условию. Точек, лежащих вне отрезка [-3;3], удовлетворяющих условию, не существует, поскольку
сумма расстояний от этих точек до концов данного отрезка очевидно больше 6.

Ответ. [-3;3].

Задачи. Решите уравнения:

1. |x+8|+|x-8|=16.

2. |x^2-3x|+x=2.

3. \displaystyle\frac{x+1}{|x-1|}-5\frac{|x-1|}{x+1}+4=0.

4. ||x+2|+x|=1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение уравнений с модулем