Теоретическая часть

 

При чтении условий любой задачи можно встретить такие величины как сумма кредита, процентная ставка, периодическая выплата по кредиту, стоимость ценной бумаги и другие. Попробуем в них разобраться.

Прежде всего, нужно разложить условия задачи на последовательные действия. Очень важен порядок этих действий!

Например:

  1. Взял кредит – сумма на количество лет.
  2. Банк начислил проценты
  3. Внес периодическую плату по кредиту

Дальше пункты 2 и 3 могут повторяться в зависимости от количества лет.

  1. Внес остаток долга – погасил кредит.

Теперь нужно математически выразить каждое наше действие, и очень важно соблюсти порядок, в котором эти действия происходят.

Пусть размер кредита равен  S, процент банка p, а ежегодная выплата по кредиту K.

Формулы для подсчета процентов:

а) если величину S увеличить на p% получится S∙(1+p/100);

б) если величину S уменьшить на p% получим S∙(1-p/100);

         в) если величину S дважды увеличить на p% получим S∙(1+p/100)²;

         г) если величину S увеличивать на p% не два раза, а три раза, получится S∙(1+p/100)³;

         д) если величину Х увеличивать на p% п раз, то степень п S∙(1+p/100)n .

Рассмотрим теперь, если заемщик выплачивает сумму K по кредиту.  Тогда через год после начисления процентов и выплаты суммы K, размер долга равен S∙(1+p/100)-K. Так как каждый год сумма будет умножаться на выражение в скобках, введем замену переменных.

Обозначим: Р =1+p/100, тогда S∙Р-K.

Через два года размер долга будет выглядеть следующим образом:

(SР-K)∙Р-K;

Через три года: ((SР-K)∙Р-K)∙Р-K;

Через четыре года: (((SР-K)∙Р-K)∙Р-K) Р-K;

Через n лет: SРⁿ-K(Рⁿ+ Рn-1n-2+Р³+Р²+Р+1).

В скобках мы видим геометрическую прогрессию. Для подсчета величины в скобках иногда применяется формула суммы Р членов геометрической прогрессии, где В1 равен 1, а q равен Р.

Формула для суммы п членов геометрической прогрессии:

Kn=

В нашем случае размер долга через n лет равен:

SРⁿ-K

Итак, мы видим в нашей формуле следующие четыре переменные:

  • размер денежной суммы —  S
  • процент банка — p,
  • периодическая выплата банку (транш) – K
  • временной период происходящих действий (года, месяцы) — n

В зависимости от того, какая из этих переменных неизвестна, можно выделить типы экономических задач.

Типы экономических задач

 

При решении этих типов задач используется описанная в теории модель решения. Одна и та же формула.

Тип 1. Нахождение количества лет выплаты кредита.

По нашей формуле  — неизвестно n. Так как все остальные величины известны, то необходимо вычислять остаток суммы по кредиту до тех пор, пока он не станет меньше, чем периодическая выплата банку– K.

Пример задачи:

1 ян­ва­ря 2015 года Тарас Пав­ло­вич взял в банке 1,1 млн руб­лей в кре­дит. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 1 числа каж­до­го сле­ду­ю­ще­го ме­ся­ца банк на­чис­ля­ет 2 про­цен­та на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 2%), затем Тарас Пав­ло­вич пе­ре­во­дит в банк платёж. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство ме­ся­цев Тарас Пав­ло­вич может взять кре­дит, чтобы еже­ме­сяч­ные вы­пла­ты были не более 220 тыс. руб­лей?

Решение:

S=1100 000; K= 220 000; p=2% Найти n?

1 февраля 2015года: 1100 000 *1,02 -220 000 = 902 000.

1 марта 2015года: 902 000*1,02 -220 000 = 700 040

1 апреля 2015 года: 700 040*1,02 -220 000 = 494040,8

1 мая 2015 года:  494040,8*1,02 -220 000  = 283921,6

1 июня 2015 года: 283921,6*1,02 -220 000  =69 600,05

1 июля 2015 года: 69 600,05*1,02 = 70 992,05 – остаток суммы долга.

В по­след­ний месяц вы­пла­та со­ста­вит менее 220 тыс. руб. Из таб­ли­цы видно, что ми­ни­маль­ный срок кре­ди­та в усло­ви­ях за­да­чи со­став­ля­ет 6 ме­ся­цев.

Ответ: 6.

Тип 2. Вычисление процентной ставки по кредиту.

По нашей формуле – неизвестно p. Так как известно n, то необходимо начислить на сумму S проценты n раз и составить уравнение, относительно p. И решить это уравнение.

Пример задачи:

Фер­мер по­лу­чил кре­дит в банке под опре­де­лен­ный про­цент го­до­вых. Через год фер­мер в счет по­га­ше­ния кре­ди­та вер­нул в банк 3/4 от всей суммы, ко­то­рую он дол­жен банку к этому вре­ме­ни, а еще через год в счет пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та он внес в банк сумму, на 21% пре­вы­ша­ю­щую ве­ли­чи­ну по­лу­чен­но­го кре­ди­та. Каков про­цент го­до­вых по кре­ди­ту в дан­ном банке?

Решение:

Нам неизвестна сумма кредита S – примем ее за 1; n=2; K1 =3/4=0,75; K2=1.21, где K1  и K2  — это первая и вторая выплата банку.

1 год: (1+ 0,01p) – 0,75(1+ 0,01p)

2 год: (1-0,75)(1+0,01р) (1+0,01р)  = 0,25 (1+0,01р)2 = 1,21

Решаем уравнение относительно р:

0,25(1+ 0,01p)2 = 1,21

(1+ 0,01p)2 = 4,84

1+ 0,01p = 2,2

р = 1,2/0,01 = 120%

Ответ: 120%.

Тип 3. Нахождение суммы кредита.

По нашей формуле – неизвестно S. Так как известно n, то необходимо начислить на сумму неизвестного S проценты n раз и решить уравнение, относительно S.

Пример задачи:

31 декабря 2014 года Владимир взял в банке некоторую сумму в кредит под 14% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14%), а затем Владимир переводит в банк 4 548 600 рублей. Какую сумму взял Владимир в банке если он выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

Решение:

р = 14%; n=2; K=4 548 600. Найти S?

Пусть Владимир взял в банке S рублей. Тогда в конце 1 года сумма долга составит 1,14S.

После первой выплаты долг банку будет составлять 1,14S — 4 548 600.

К концу 2 года после начисления процентов долг банку составит 1,14 (1,14S — 4 548 600) = 1,2996S — 5 185 404.

Так как Владимир выплатил долг двумя равными платежами, то получаем уравнение:

1,2996S — 5 185 404 — 4 548 600 = 0,

1,2996S = 9 734 004,

S = 7 490 000.

Владимир взял в банке 7 490 000 рублей.

Ответ: 7 490 000.

Тип 4. Нахождение периодической выплаты банку (транша).

По нашей формуле – неизвестно К. Составить уравнение и решить относительно К.

Пример задачи:

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 19 860 000 в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?

S=19 860 000; p=10%; n=3 Найти К?

1 год:  19 860 000 + 0,1 * 19 860 000 = 1,1* 19 860 000 = 21 846 000.

После того, как Сергей перевел в банк K рублей, сумма долга составила

21 846 000 — К.

2 год: 1,1*(21 846 000 — К).

Сергей перевел К рублей в банк и сумма долга стала равна

1,1*(21 846 000 — К) — К = 24 030 600 — 2,1К.

3 год — банк начислил проценты и долг составил

1,1*(24 030 600 — 2,1К).

Сергей выплатил третий платеж и полностью погасил долг

1,1*(24 030 600 — 2,1К) — К = 0.

Найдем из этого уравнения X:

26 433 660 — 3,31К = 0,

3,31К = 26 433 660,

К = 7 986 000 рублей.

Ответ: 7 986 000.

Нестандартные экономические задачи.

 

Эти задачи невозможно объединить в одну группу – подход к каждой из них индивидуален, требует дополнительных знаний и смекалки. Иногда для их решения требуется введение дополнительной алгебраической функции, которую необходимо исследовать. Либо вводить новые переменные и решать системы уравнений. Бывает, что решить можно с помощью неравенства.  Часто нужны дополнительные экономические знания.

Задача 1 Сергей приобрел ценную бумагу за 7 тысяч рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тысячи рублей. В любой момент Сергей может продать ценную бумагу и вырученные деньги положить на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В течение, какого года после покупки Сергей должен продать ценную бумагу, чтобы через 30 лет после покупки этой бумаги сумма на счете была наибольшей?

Решение:

Во второй год цена составит: (7+2) тысячи рублей

В третий год (7+2)+2= 7+2*2 тысячи рублей

На четвертый год (7+2)+2)+2= 7+2*3 тысячи рублей

………………………………

В n-й год 7+2*(n-1) тысячи рублей

Сопоставим 10% банковский рост цены бумаги ее ежегодному росту на 2000 рублей.

10% от цены бумаги на n-ом году 0,1(7+2*(n-1)).

Для того чтобы было выгодно нужно чтобы 10% от этой суммы были больше, чем 2 тысячи рублей.

Получаем неравенство:

0,1(7 + 2(n-1))2

7 + 2(n-1)20

2(n-1)13

(n-1)6,5

n7,5

Наименьшее натуральное n, удовлетворяющее этому неравенству равно 8. Ответ: 8.

Задача 2  Спрос (цена) на продукцию монополиста задан формулой

P = 100-2Q, а функция общих издержек TC = 2Q2 + 2. Какую цену должен назначить монополист, чтобы минимизировать издержки?

(Q – объем производства)

Решение:

Для решения задачи нужно воспользоваться экономической формулой:

Прибыль = выручка – издержки

Рассмотрим П (Прибыль) как функцию и найдем ее максимум!

П = P*Q ТС = (100 – 2Q)*Q — 2Q2 + 2 = — 4Q2 + 100Q + 2

П = — 4Q2 + 100Q + 2 – видим, что это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, максимум функции находится в ее вершине Qmax = Q0 =  = -100/-8 = 12,5

Подставим Qmax: P = 100-2Qmax = 100- 2*12.5 = 75

Ответ: 75.

Задача 3 Транснациональная компания Amako Inc. решила провести недружественное поглощение компании FirKt Aluminum Company (FAC) путем скупки акций миноритарных акционеров. Известно, что Amako было сделано три предложения владельцам акций FAC, при этом цена покупки одной акции каждый раз повышалась на 1/3. В результате второго предложения Amako сумела увеличить число выкупленных акций на 20%, а в результате скупки по третьей цене — еще на 20%. Найдите величину третьего предложения и общее количество скупленных акций FAC, если начальное предложение составляло $27 за одну акцию, а по второй цене Amako скупила 15 тысяч акций.

Решение:

Из условия задачи следует, что было всего три предложения. Каждый раз цена акции повышалась на 1/3, а общее количество приобретенных

акций увеличивалось на 20%.

Рассчитаем цену каждого предложения:

1-е предложение – 27$

2-е предложение – 27 + 27/3 = 36$

3-е предложение – 36 + 36/3 = 48$

По второй цене Amako скупила 15 тысяч акций и это составило 20% или 1/5 от того, что было. Следовательно, 15*5 = 75 тысяч акций было после первого предложения. Значит, после второго всего стало 75+15 = 90 тысяч акций.

Но в третий раз также купили 20% или 1/5: 90+90/5 = 90 + 18 = 108 тысяч акций – общее количество скупленных акций FAC.

А величина третьего предложения: 18 000* 48$ = 864 000$

Ответ: 864 000, 108 000.

Задача 4 Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3640 р. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму 3927 р. Первый брокер продал 75% своих акций, а второй 80% своих. При этом сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером. На сколько процентов возросла цена одной акции?

Решение:

Пусть   с — начальная цена одной акции,  x — количество акций, купленных первым брокером,  y — количество акций, купленных вторым брокером.

c*(x + y) = 3640

И пусть цена одной акции возросла на  p%   — c *(1 + 0,01р) стала цена одной акции. Тогда первый продал 0,75x акций, второй — 0,8y акций. Первый получил сумму за продажу акций — 0,75x c *(1 + 0,01р), а второй  — 0,8y c *(1 + 0,01р).

0,75x c *(1 + 0,01р) + 0,8y c *(1 + 0,01р) = 3927

с*(0,75x +0,8y) (1 + 0,01р) = 3927

Так как сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером, то значит, он получит сумму 100 +140 = 240%

0,8y c *(1 + 0,01р) = 2,4*0,75x c *(1 + 0,01р)

0,8y = 2,4*0,75x

0,8y = 1,8x

у = 2,25х  — первая замена

с*(2,25х+х) = 3640

3,25сх=3640

сх =1120 – вторая замена

с*(0,75x +0,8y) (1 + 0,01р) = 3927 Подставим первую замену

с*(0,75x + 1,8х) (1 + 0,01р) = 3927

2,55сх (1 + 0,01р) = 3927

сх (1 + 0,01р) = 1540 Подставим вторую замену

1120 (1 + 0,01р) = 1540

(1 + 0,01р) = 1,375

0,01р = 0,375

р = 37,5

Ответ: 37,5.

 

Решение экономических задач