Цель урока.

  • Углубление знаний по теме урока.
  • Развитие самостоятельной учебно-познавательной деятельности.
  • Развитие навыков групповой работы.
  • Оценка реальности и красоты каждого из предложенных способов решения уравнения.

Тип урока: комбинированный.

Метод: проблемный и частично поисковый.

Оборудование:

  • Кодоскоп.
  • Плёнки с графиками функций  
  • “Информация к размышлению”- подборка задач по теме “целая и дробная части числа” для учащихся 8-11-х классов с указанием литературы.

Предварительная подготовка к уроку-семинару.

Класс разбивается на 4 группы (по числу способов решения уравнения), для каждой группы указывается способ решения и литература, где этот способ можно найти. Затем для каждой группы производится консультация, на которой проверяется готовность каждой группы и выясняются все возникающие вопросы. Каждая группа выдвигает своего докладчика, который будет на уроке решать задачу указанным способом.

План урока:

  1. Организационный момент.
  2. Вступительное слово учителя.
  3. Повторение.
  4. Проверка домашнего задания.
  5. Семинар.
  6. Итог урока.

Вступительное слово учителя.

В последние годы задачи на решение уравнений с целой частью числа постоянно встречаются на олимпиадах и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения. Такие задачи для учеников являются непривычными и сложными.

Впервые знакомство с целой и дробной частью числа встречается в 8-м классе, когда вводится определение целой и дробной части числа и строятся графики y=[x]; y={x};

Но в учебниках нет методов решения уравнений, содержащих целую часть числа.

Поэтому сегодня мы повторим то, что знаем и рассмотрим различные способы решения ещё одного вида уравнений, содержащих целую часть числа.

Повторение.

Вызываю 2 человека к доске решать домашнее задание.

Устно с помощью кодоскопа:

Определение целой части числа. Найти [25,8]; [0.75]; [-1]; [-2,74]; [-3,8].

Свойства: если, то [x]=x; если то [x]<x, тогда [x]x<[x]+1;

Вычислить:

а) [3,72 + 4,28],

б) [3,72] + [4,28],

в) [-3,72] + [-4,28],

г) [3,72][-4,28],

Ответы: а) 8; б) 7; в) -9; г) -15;

Решить уравнение:

а) [x]+0,3=7,4;

б) [x]+0,4=7,4;

в) x+[5,75]=8;

г) [x]+1=-7;

Ответы: а) нет решения; б) [7;8); в) 3; г) [-8;-7).

Проверка домашнего задания.

Отвечает 1-й ученик.

Решить уравнение  методом замены.

Решение: обозначим x-1=k, где k – целое число, тогда x=k+1;  и уравнение примет вид . Из определения целой части следует, что 

Решим систему неравенств:

 а так как , то k = 2 или k = 3,

Получим совокупность 2 — х уравнений:

 откуда x = 3, x = 4;

Ответ: {3;4}.

Ребята задают отвечающему вопросы по теме урока.

Отвечает  2-й ученик.

На плёнке 2 графика

 и 

На доске записи:

1) 

0f < 1, -2x<0, [f] = 0;

1f < 2, 0x<2, [f] = 1;

2f < 3, 2x<4, [f] = 2;

3f < 4, 4x<6, [f] = 3;

4f < 5, 6x<8, [f] = 4;

2) строим по двум точкам.

3)графики пересекутся в двух точках с абсциссами 3 и 4.

Ответ: {3;4}.

Вопросы класса.

Семинар: “Решение уравнения  различными способами”.

1. Выступает представитель от первой группы.

Задание. Решить уравнение  методом замены.

Решение: 

1-й способ:

Обозначим [x-1]=n и =n, где , тогда получим систему неравенств:

Задача сводится к нахождению таких целых значений n, при которых существует общая часть двух полученных промежутков.

Решение отсутствует, если:

а) промежуток (1) левее промежутка (2), т.е. при  ;

б) промежуток (2) левее промежутка (1), т.е. при  

Итак, решение существует при 1<n<4, а так как n – целое число, то n=2 или n=3.

При n=2

При n=3

Объединяя решения этих систем, получим, что 

Ответ: [3;5).

Выяснить вопросы и дать ответы на них.

2. Выступает представитель от 2-й группы.

Задание:

Решить уравнение (записывает на доске, ученики фиксируют в тетрадях).

2-й способ:

Целые части чисел равны, если модуль разности этих чисел меньше единицы.

Тогда получим систему двух неравенств:

(1)откуда  (2)

Последняя система неравенств равносильна совокупности двух систем:

    

Ответ: [3;5).

Учащиеся задают вопросы отвечающему, выясняют правильность оформления решения.

2) почему из системы (1) следует система (2)?

Вопрос: 1)как доказать, что если целые части равны, то модуль разности чисел меньше 1.

Доказательство:

Пусть [x]=a, [y]=a, a.

Тогда ,

Это значит, что |x-y|<1

Исходя из определения целой части

2)т.к. 1<x-1<5, то 

Т.к. то 

3. Выступает ученик от 3-й группы.

Задание:

Решить уравнение методом исключения.

Решение:

а) Пусть . Найдём такие значения x, при которых между этими числами найдётся ещё какое-либо целое число k, такое, что .

Решим систему неравенств:

 получим откуда 2k-2<k+1;

При k=2  (см. 1-й способ)

При k=1 

Итак, промежуток [2;3) не входит в решение данного уравнения.

б) Пусть  Найдём такие значения х, при которых между этими числами найдётся какое-либо число m, такое, что 

Решим систему неравенств:

  m>3.

При m=4  значит, промежуток [5;6) не входит в решение уравнения.

в) Получим, что данному уравнению из интервала (2;6) не удовлетворяют числа 2<x<3 и 

Остаются числа 

Ответ: [3;5).

Вопросы отвечающему: почему промежутки [2;3) и [5;6) не входят в решение уравнения, ведь и 

4. Выступает представитель от 4-й группы.

Задание:

Решить уравнение  графическим методом, используя кодоскоп.

На плёнке графики  

1) На доске для построения графика x-1=t;

0t<1 1x<2 [t]=0
1t<2 2x<3 [t]=1
2t<3 3x<4 [t]=2
3t<4 4x<5 [t]=3
4t<5 5x<6 [t]=4

2) график y=[x-1] берётся из домашнего задания;

3)обе плёнки совмещаем на экране.

Графики  и  совпадают при 3x<4 и при 4x<5

.

Ответ: [3;5).

Задание. Назвать алгоритм решения уравнения графическим способом.

Итог урока:

Оценить работу каждого ученика, отвечающего на семинаре:

  • чёткость и логичность изложения материала;
  • привлечение технических средств;
  • культура речи;
  • доступность изложения материала;
  • свободное владение материалом.
  • Показать, что лучше владеть несколькими методами решения уравнения, чем одним.
  • Предложить в качестве домашнего задания решить всеми способами уравнение: Ответ: 

Вывесить в кабинете для учащихся 8-11 классов в качестве сменного стенда “Информация к размышлению” подборку различных задач по теме из журналов “Математика в школе”.

Приложение.

Информация к размышлению.

Решить уравнения:

Пример Ответ
1
2
3
(ол. Сороса 1995 г)
1; ;;
4 -1;0;
5
6
7
8
9 0; 6
10
11
12 1; 0.1;
13 [x[x]]=1
14 [tgx]=2
15
(ол Сороса 1995г.)
16
17
18
19 [3;5)
20
21 |[x]|=[|x|] Все неотрицательные числа и все целые отрицательные числа.
22
23

Сколько решений имеет уравнение

24
25
26 [x]{x}=1
27 ||x|-[x]|=[|x|-[x]]
28 x(x-2)[x]={x}-1
29 [sinx]{sinx}=sinx
30
31
32
33
34 Найти {x}, если 
35
36
37 Найти все действительные значения а, такие, что равенство выполняется для любого натуральногоn:
Урок-семинар по теме: «Решение уравнений, содержащих целую часть числа»