Л

В последнее время всё чаще на олимпиадах, математических конкурсах, а также во многих вариантах ЕГЭ по математике  встречаются задачи, содержащие целую часть числа x.
В различных вопросах теории чисел, математического анализа, теории рекурсивных функций и в других областях математики используются понятия целой и дробной частей действительного числа. В программу школ и классов с углубленным изучением математики включены отдельные вопросы, связанные с этими понятиями, но на их изложение в учебнике алгебры для 9-го класса отведено всего 34 строки [1].
Введём понятие целой части действительного числа и рассмотрим некоторые её свойства.
Определение. Целой частью действительного числа x называется наибольшее целое число, не превосходящее x.
Свойства целой части:
1.  [x]=x, если x€Z.
2.  [x]≤x<[x]+1.
3.  [x+m]=[x]+m, если m€Z.
Просматривая и анализируя встречающиеся задания, содержащие целую часть числа, мы заметили их однообразие, приводящее к стандартному способу решения – замене какого-либо выражения переменной.
Например, [x+2,6]+[x+3,6]+[x+4,6]=6.
Заменим x+2,6 = y, тогда

 

[y]+[y+1]+[y+2]=6,

[y]+[y]+1+[y]+2=6,

3[y]=3,

[y]=1.

Возврат к замене: y= x+2,6, тогда

 

[x+2,6]=1,

1x+2,6<2,

-1,6x<-0,6.

Ответ: [-1,6; -0,6).

Рассмотрим другое уравнение, взятое из Межрегиональной олимпиады школьников по математике на базе ведомственных образовательных учреждений 2011—2012 года [3], которое тоже решается с помощью замены:

 

 = .

Заменим =k.

 

15x-7=5k,

x=, (1)

=k,

. (2)

Подставим вместо х в выражении (2) выражение (1), тогда

 

k<k+1,

40k-3910k<40k+1,

1) 40k-3910k, 2) 10k<40k+1,

k1,3,                 k>.

Из 1) и 2) => k=0; k=1.
При k=0 x=;
при k=1 x=0,8.
Ответ: ; 0,8.
Возникает вопрос: а возможно ли встретить уравнение, в котором метод указанных замен не приводит к нахождению результата, и как его решить?
Рассмотрим уравнение: [x+4,3]+[x-2,3]-[x+3,3]=5.
Сложность данного уравнения заключается в неоднозначности числа x.
Пусть x=0,4, тогда [x+0,8]=1; [x+1,2]=1; [x+4,5]=4, а при x=0,8 [x+0,8]=1; [x+1,2]=2; [x+4,5]=5.
Чтобы учесть неоднозначность неизвестного в уравнении с целыми частями, нам надо найти точки, при которых каждое слагаемое изменяет значение целой части на 1. Назовём их критическими точками и рассмотрим конкретный пример.

 

[x+4,3]+[x-2,4]-[x+3,5]=5.

x=t+a, t — целая часть числа, a — дробная часть числа.

 

[t+a+4+0,3]+[t+a-3+0,6]-[t+a+3+0,5]=5,

t+t-t+4-3-3+[a+0,3]+[a+0,6]-[a+0,5]=5,

t+[a+0,3]+[a+0,6]-[a+0,5]=7,

а=0,7; а=0,4; а=0,5 – критические точки.

 

1) a€[0;0,4),

t+0+0+0=7,

t=7 => 7≤x<7,4.

2) a€[0,4;0,5),

t+1=7,

t=6 => 6,4≤x<6,5.

3) a€[0,5;0,7),

t=7 => 7,5≤x<7,7.

4) a€[0,7;1),

t+1+1+1=7,

t=4 => 4,7≤x<5.

Ответ: [4,7;5), [6,4;6,5), [7;7,4), [7,5;7,7).
Рассмотрим ещё одно задание [2].
Если к десятичной записи натурального числа а приписать справа запятую, а потом некоторый набор бесконечных цифр, то получится десятичная запись такого иррационального числа с, что (2с-3)2=3a2-12c+46. Найдите все возможные значения числа c.

 

[c]=a € N,

c=a+t,

0≤t<1,

(2с-3)2=3a2-12c+46,

4c2-12c+9-3a2+12c-46=0,

4c2-37-3a2=0,

4c2-37-3[c]2=0,

4(a+t)2-37-3a2=0,

(a+t)2=,

a+t=,

t=-a,

t=--a — не подходит по условию задачи,

 

0≤-a<1,

1) ≥a,

3a2+37≥4a2,

a2≤37,

a€[-;] => a=6;5;4;3;2;1  (1)

2)  3a2+37<4(a+1)2,

3a2+37<4a2+8a+4,

a2+8a-33>0 => a>3 (2)

Из (1) и (2) => a=4;5;6.

 

c=a+t=a+-a=.

При а=4 c=.
При а=5 с=2.
При а=6 с=.
Рассмотренные три способа замены позволяют успешно решить многие задачи с целой частью числа, таким образом повышая возможность выпускников школы получить более высокий балл на ЕГЭ.

 

Список литературы:
1.Алгебра для 9-го класса: учебное пособие для учащегося школ и классов с углубленным изучением математики/ Н.Я. Виленкина — М., Просвещение, 2000 года.
2.Математика. Подготовка у ЕГЭ-2010/ Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. — Ростов-на-Дону: Легион-М, 2009. — 480 с. — («готовимся к ЕГЭ»).
3.Межрегиональное олимпиада школьников по математике на базе ведомственных образовательных учреждений. 2011—2012 год. Режим доступа: [Электронный ресурс] — Режим доступа. — URL: www.academy.fsb.ru

ЗАМЕЧАТЕЛЬНАЯ ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ (СПОСОБ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ЦЕЛОЙ ЧАСТЬЮ ЧИСЛА)