Взаимное расположение двух окружностей

Фигура Рисунок Свойства
Две окружности на плоскости Взаимное расположение двух окружностей Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

d = O1O2

Каждая из окружностей лежит вне другой Взаимное расположение двух окружностей Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

d > r1 + r2

Внешнее касание двух окружностей Взаимное расположение двух окружностей Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

d = r1 + r2

Внутреннее касание двух окружностей Взаимное расположение двух окружностей Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

d = r1 – r2

Окружности пересекаются в двух точках Взаимное расположение двух окружностей Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 < d < r1 + r2

Одна из окружностей лежит внутри другой Взаимное расположение двух окружностей Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d < r1 – r2

Общие касательные к двум окружностям

Фигура Рисунок Свойства
Внешняя касательная к двум окружностям Общие касательные к двум окружностям Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касаетсякаждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.
Внутренняя касательная к двум окружностям Общие касательные к двум окружностям Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.
Внутреннее касание двух окружностей Общие касательные к двум окружностям

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Окружности пересекаются в двух точках Общие касательные к двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Внешнее касание двух окружностей Общие касательные к двум окружностям Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Общие касательные к двум окружностям
Каждая из окружностей лежит вне другой Общие касательные к двум окружностям Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет
Общие касательные к двум окружностям

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Фигура Рисунок Формула
Внешняя касательная к двум окружностям Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Посмотреть доказательство

Внутренняя касательнаяк двум окружностям Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Посмотреть доказательство

Общая хорда двух пересекающихся окружностей Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Посмотреть доказательство

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

      Утверждение 1. Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d(рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

      Доказательство. Для того, чтобы найти длину отрезка K1K2, опустим из точки O2 перпендикулярO2K3 на прямую O1K1 (рис.1).

Доказательство формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Рис.1

      Поскольку четырёхугольник O2K2K1K3 – прямоугольник, то справедливы равенства

O2K3 = K1K,     K1K3 = r,     O1K3 = r1 – r2 .

      Воспользовавшись этими равенствами, из прямоугольного треугольника O1O2K3 получаем:

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

      Следовательно,

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

что и требовалось доказать.

      Утверждение 2. Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d, то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

      Доказательство. Для того, чтобы найти длину отрезка K1K2 , опустим из точки O2 перпендикулярO2K3 на прямую O1K1 (рис.2).

Доказательство формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Рис.2

      Поскольку четырёхугольник O2K2K1K3 – прямоугольник, то справедливы равенства

O2K3 = K1K,     K1K3 = r,     O1K3 = r1 + r2 .

      Воспользовавшись этими равенствами, из прямоугольного треугольника O1O2K3 получаем:

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

      Следовательно,

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

что и требовалось доказать.

      Утверждение 3. Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d, то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

      Доказательство. Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

Доказательство формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Рис.3

следующие обозначения:

O2C = y,     CB = x .

      Тогда, воспользовавшись теоремой Пифагора для треугольников O1CB и O2CB, получим

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

      Поэтому

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

      Таким образом, справедлива формула:

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

что и требовалось доказать.

Взаимное расположение двух окружностей. Общие касательные к двум окружностям