Задачи

6.В коробке лежали спички. Их количество удвоили, а затем убрали 8 спичек. Остаток спичек снова удво­или, а затем снова отняли 8 спичек. Когда эту операцию проделали в тре­тий раз, в коробке не осталось ни одной спички. Сколько их было сна­чала?

7.Что можно сказать о точках А, В и С на плоскости, если известно, что для любой точки М этой плоско­сти расстояние AM меньше хотя бы одного из расстояний  ВМ  и   СМ7

8.Саша и Гриша на велосипедах часто катались по лесной тропинке от одного конца леса до другого. Однажды Гриша, проехав 2 км по ле­су, встретил Сашу, чинившего свой велосипед. Друзья поговорили о школьных делах, и Гриша поехал дальше. Достигнув опушки леса, он заметил, что со времени въезда в лес прошло 24 минуты. Развернувшись, он поехал в обратную сторону и че­рез 2 км снова встретил Сашу, чи­нившего свой велосипед, но уже в другом месте. «Сколько же ты про­ехал?», — спросил Гриша. — «Все­го 900 метров>, — ответил ему Саша. Определите время их первого раз­говора, если известно, что Гриша ез­дил все время с одной и той же скоростью 10 км/час.

9 . Сколькими, способами можно представить число 50 в виде суммы двух четных чисел? Представления, отличающиеся поряд­ком слагаемых, считать совпадающими.

Решение. В последовательности 0,2, 4, …, 50 содержится 26 чисел. Значит, число 50 можно представить в виде суммы двух чет­ных чисел 26-ю способами. Но так как представления, отличающиеся порядком слагаемых, считаем совпадающими (2 + 48 и 48 + 2), то будем иметь 13 способов.

  1. Вычислите сумму всех   нечетных   чисел,   находящихся  в первой тысяче.

Решение.      1 + 3 + 5 + … + 997 + 999 = (1 + 999) +  (3 + 997) + (5 + 995) + … + (499 + 501) = 1 000 * *250 = 250 000.

(Нечетных чисел в первой тысяче — 500, поэтому пар  слагае­мых, заключенных в скобки — 250).

  1. Вычислите: 99 — 97 + 95 — 93 + 91 — 89 + … + 7— 5 + 3—1.

Решение. (99 — 97) + (95 — 93) + (91 — 89) + … + (7—  5) + (3 — 1) = 2 • 25 =

50.

(Нечетных чисел в первой сотне — 50, поэтому пар слагаемых, заключенных в скобки — 25).

 

 

 

 

 

 

13  . Какой цифрой оканчивается произведение всех на­туральных чисел от 1 до 81?

Решение. Данное произведение оканчивается нулем, так как одним из множителей является 10, а в произведении 10 на любое число получим число, оканчивающееся нулем.

14  . Сколько нулей стоит в конце произведения всех на­туральных чисел от  10 до 25?

Решение. Предположим, что это произведение разложили на простые множители. Так как нуль на конце произведения обра­зуется при умножении 5 на 2, то нулей будет столько, сколько раз можно выделить произведение 5 • 2 из разложения данного произве­дения на простые множители. Число 2 как множитель встречается в разложении каждого четного числа на простые множители по край­ней мере один раз, поэтому для подсчета числа нулей на конце про­изведения достаточно подсчитать количество пятерок в разложении данного произведения на простые множители: их 5 (в числах 10, 15, 20, 25). Значит, произведение будет оканчиваться пятью нулями.

Замечание. Для закрепления способа решения задачи полезно предложить учащимся вычислить количество нулей, содержащихся в произведении всех натуральных чисел от I до 100 вклю­чительно [24].

  1. 4 карандаша и 3 общих тетради стоят 54 р., 2 карандаша и 2 общих тетради— 34 р. Сколько стоят: а) 8 карандашей и 7 общих тетрадей? б) 8 карандашей и 4 общие тетради?

Решение, а) Если 2 карандаша и 2 общих тетради стоят 34 р., то 4 карандаша и 4 общие тетради — 68 р. Тогда 8 карандашей и 7 общих тетрадей стоят 1 22 р. (54 + 68 = 122).

б) Так как 2 карандаша и 1 общая тетрадь стоят 20 р. (54 — 34 =  20), то 8 карандашей и 4 тетради стоит 80 р. (20 • 4 = 80).

Задачи для 5 класса